Question

Determine a função , tal que:

f′(x) = √x + 3cosℎx −3x^4 + e^3x, f(0) = 3.

Raíz cúbica de x

Answer 1

Temos a seguinte derivada:

$f'(x) = \sqrt{x} + 3 \cosh (x) - 3x {}^{4} + e {}^{3x}$

A questão também fornece uma informação que será útil para encontrarmos a constante. Vamos começar integrando ambos os lados:

$\int f'(x) \: dx = \int \sqrt{x} + 3 \cosh (x) - 3x {}^{4} + e {}^{3x} \: dx$

A integral da derivada é o próprio conteúdo:

$f(x) + c_1 = \int \sqrt{x} + 3 \cosh (x) - 3x {}^{4} + e {}^{3x}$

Agora vamos aplicar a integral em todos os termos, pois a integral da soma é igual a soma das integrais, então:

$f(x) + c_1 = \int \sqrt{x} dx + \int 3 \cosh(x) - \int3x {}^{4} dx + \int e {}^{3x} dx$

Resolvendo separadamente cada integral.

• Primeira integral:

$\int \sqrt{x} dx\longrightarrow \int x {}^{ \frac{1}{2} }dx \longrightarrow \frac{2x {}^{ \frac{3}{2} } }{3} + c_2$

• Segunda integral:

$\int 3 \cosh(x) \: dx$

Para resolver essa integral devemos lembrar que:

$\cosh(x) = \frac{e {}^{x} + e {}^{ - x} }{2}$

Substituindo essa informação na integral:

$\int 3. \frac{e {}^{x} + e {}^{ - x} }{2} dx\longrightarrow3 \int \frac{1}{2} .(e {}^{x} + e {}^{ - x} )dx \\ \\ \frac{3}{2} \int e {}^{x} + e {}^{ - x} dx\longrightarrow \frac{3}{2} \int e {}^{x} dx + \int e {}^{ - x} dx \\ \\ \frac{3}{2} (e {}^{x} - e {}^{ - x} )\longrightarrow \frac{3(e {}^{x} - e {}^{ - x} )}{2} \longrightarrow \boxed{3 \sinh(x) + c_3}$

• Terceira integral:

$\int 3x {}^{4} dx\longrightarrow3 \frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} + c_4\longrightarrow \boxed{ \frac{3}{5} x {}^{5} + c_4}$

• Quarta integral:

$\int e {}^{3x} dx\longrightarrow u = 3x \\ \frac{du}{dx} = 3\longrightarrow \frac{du}{3} = dx \\ \\ \int e {}^{u} . \frac{du}{3} \longrightarrow \frac{1}{3} \int e {}^{u}du \longrightarrow \boxed{\frac{1}{3} e {}^{3x} + c_5}$

Substituindo todos esses dados onde paramos:

$f(x) = \frac{2}{3} x {}^{ \frac{3}{2} } + 3 \sinh(x) - \frac{3}{5} x {}^{5} + \frac{1}{3} e {}^{3x} + \underbrace{ c_2 + c_3 + c_4 + c_4 - c_1}_{c} \\ \\ f(x) = \frac{2}{3} x {}^{ \frac{3}{2} } + 3 \sinh(x) - \frac{3}{5} x {}^{5} + \frac{1}{3} e {}^{3x} + c \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos utilizar a informação que diz que quando x = 0, a função possui valor igual a 3:

$3 = \frac{2}{3}.0 {}^{ \frac{3}{2} } + 3. \frac{e {}^{0} - e {}^{ - 0} } {2} - \frac{3}{5} .0 {}^{5} + \frac{1}{3} .e {}^{3.0} + c \\ \\ 3 = 0 + 0 - 0 + \frac{1}{3} + c \\ \\ c = 3 - \frac{1}{3} \\ \\ c = \frac{9 - 1}{3} \\ \\ \boxed{c = \frac{8}{3} }$

Substituindo essa informação, completamos a primitiva da função derivada:

$\boxed{f(x) = \frac{2}{3} x {}^{ \frac{3}{2} } + 3 \sinh(x) - \frac{3}{5} x {}^{5} + \frac{1}{3} e {}^{3x} + \frac{8}{3} }$

Espero ter ajudado