Question

Considere um plano inclinado que forma um ângulo de θ = 30,0° com a horizontal. Na parte inferior do plano inclinado está uma mola com constante elástica de 4700 N/m fixada num muro. Um bloco de inércia 2,00kg solto na parte superior do plano inclinado produz uma compressão máxima na mola de 2,50cm em relação à posição inicial.

a) Desprezando todos atritos calcule a distância que o bloco percorre desde momento em que é solto até comprimir a mola no seu valor máximo.
b) Agora considere que existe atrito entre a superfície do bloco e o plano inclinado com µk = 0, 100. Calcule a distância em que o bloco foi solto para comprimir a mola do mesmo valor máximo anterior.
c) Qual a aceleração do bloco ao descer a rampa com atrito?
d) Se você quiser que o bloco desça com velocidade constante a rampa com atrito qual o angulo θ a rampa dever ter com a horizontal?

Answer 1

O bloco percorreu 17,2cm. Ele será solta a uma nova distância de 8,89cm. E adquirirá 4,13 m/s² de aceleração. A rampa deve ter inclinação de 5,71º para ele descer com velocidade constante.

a) Primeiro vamos aplicar a conservação da quantidade de energia mecânica para acharmos a altura inicial. Considerando que toda a energia potencial gravitacional do início será armazenada na mola comprimida, teremos:

$E_p_{inicial} = E_{elastica}\\\\mgh = kx^2/2\\\\h = kx^2/(2mg) = 4700*0,025^2/(2*10*2) = 2,94/40 = 0,0735m = 7,35cm$

Essa é a altura do plano inclinado. Podemos portanto aplicar um seno para encontrarmos a distância d percorrida sob a rampa:

$sen30^o = h/d\\\\0,5 = 0,0735/d\\\\d = 0,0735/0,5 = 0,147m = 14,7cm$

Aqui vem o "pulo do gato". Essa é apenas a distância da rampa (plano inclinado). Devemos agora acrescentar a compressão da mola:

$D = d + x = 0,147 + 0,025 = 0,172m = 17,2cm$

b) Vamos analisar as forças. Sabemos que a força peso, no sentido do plano inclinado, será:

$P = mgsen30^o$

E a força normal no bloco é:

$N = mgcos30^o$

Logo, a força de atrito vale:

$F_{at} = N\mu = \mu mgcos30^o$

Portanto, a força atuante no bloco durante a descida do plano inclinado será:

$F_r = P - F_{at} = mgsen30^o - \mu mgcos30^o = mg(sen30^o - \mu cos30^o)$

Pelo teorema do trabalho sabemos que:

$\tau = F_rd = \Delta E_c = E_c_{final} - E_c_{inicial}$

E, pelo teorema da conservação da energia mecânica sabemos que no início o bloco está com energia cinética nula e, no final, ao chegar na mola, toda a energia cinética será convertida em energia potencial elástica. Ou seja:

$E_c_{inicial} = 0\\\\E_c_{final} = E_{elastica} = kx^2/2 = 4700*0,025^2/2 = 1,47 J$

Portanto, temos:

$mgd(sen30^o - \mu cos30^o) = 1,47 - 0 = 1,47\\\\2*10d(0,5 - 0,1*0,866) = 1,47\\\\20d(0,5 - 0,0866) = 1,47\\\\8,268d = 1,47\\\\d = 1,47/8,28 = 0,1778m = 17,78cm$

Aplicando novamente o seno no plano inclinado:

$sen30^o = h/d\\\\h = dsen30^o = 0,1778*0,5 = 0,0889m = 8,89cm$

c) Agora não podemos trabalhar com energia mecânica. Vamos analisar as forças novamente. A força atuante no bloco durante a descida do plano inclinado será:

$F_r = P - F_{at} = mgsen30^o - \mu mgcos30^o = mg(sen30^o - \mu cos30^o)$

Pela segunda Lei de Newton:

$F_r = ma = mg(sen30^o - \mu cos30^o)\\\\a = g(sen30^o - \mu cos30^o) = 10*(0,5 - 0,1*0,866) = 4,13 m/s^2$

d) Para que o bloco tenha velocidade constante a força de atrito deve ser igual à força peso do bloco, resultando numa força Fr nula:

$P = F_{at} = \mu N\\\\mgsen\theta = \mu mgcos\theta\\\\sen\theta = \mu cos\theta\\\\sen\theta / cos\theta = \mu\\\\tg\theta = \mu = 0,1\\\\\theta = arc tg (0,1) = tg^{-1}(0,1) = 5,71^o$

Você pode aprender mais sobre Plano Inclinado aqui: https://brainly.com.br/tarefa/18299371