Question

5. (Efomm 2017) Sejam as circunferéncias +y2 -16 = O e c0: (x- 2)2 +(y+ 2)2 = 4.e Considere A e B os pontos de intersecção dessas circonferáncias. Determine a distancia entre A e B.

Answer 1

Resposta:

$d=\sqrt{14}\;u.c$

Explicação passo-a-passo:

Podemos reescrever a equação de $C_1$ como $x^2+y^2=16$. Da mesma forma, podemos desenvolver os produtos notáveis em $C_2$, ficando com:

$C_2:x^2-4x+4+y^2+4y+4=4$

$C_2:x^2+y^2+4y-4x+8=4$

Como os pontos que de interseção devem obedecer às equações das duas circunferências, podemos substituir $x^2+y^2$ por 16 na equação de $C_2$, ficando assim com:

$16+4y-4x+8=4$

$4y=4x-20$

$y=x-5$

Substituindo $y$ em $C_1$:

$x^2+(x-5)^2=16$

$x^2+x^2-10x+25=16$

$2x^2-10x+25-16=0$

$2x^2-10x+9=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

$x=\frac{10\pm\sqrt{10^2-4\cdot2\cdot9}}{4}$

$x=\frac{10\pm\sqrt{100-72}}{4}$

$x=\frac{10\pm\sqrt{28}}{4}$

$x=\frac{10\pm2\sqrt{7}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{7}}{2}$

Essas são as coordenadas em $x$ dos pontos de interseção. Sendo $y=x-5$, temos que as coordenadas em $y$ são:

$y=\frac{5\pm\sqrt{7}}{2}-5$

$y=\frac{-5\pm\sqrt{7}}{2}$

Com isso já podemos calcular a distância entre os pontos:

$d=\sqrt{\left[\frac{5+\sqrt{7}}{2}-\left(\frac{5-\sqrt{7}}{2}\right)\right]^2+\left[\frac{-5+\sqrt{7}}{2}-\left(\frac{-5-\sqrt{7}}{2}\right)\right]^2}$

$d=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2}$

$d=\sqrt{7+7}$

$d=\sqrt{14}\;u.c$

A imagem em anexo mostra a representação gráfica das circunferências, pontos de interseção e distância entre os pontos para melhor visualização do problema.