Question

O poligono regular cuja medida do angulo externo e a metade da medida do angulo interno do quadrado

Answer 1

Em qualquer polígono regular com $n$ lados, o ângulo interno mede

$\alpha_{i}=180^{\circ}-\dfrac{360^{\circ}}{n}$


E em qualquer polígono regular, com $n$ lados, o ângulo externo mede

$\alpha_{e}=\dfrac{360^{\circ}}{n}$


Note que, para qualquer polígono regular, sempre teremos

$\alpha_{i}+\alpha_{e}=180^{\circ}$

(são ângulos suplementares)


A medida do ângulo interno do quadrado $(n=4)$ é dado por

$=180^{\circ}-\dfrac{360^{\circ}}{4}\\ \\ =180^{\circ}-90^{\circ}\\ \\ =90^{\circ}$


Queremos encontrar o polígono regular, cujo ângulo externo é a metade de $90^{\circ}:$

$\alpha_{e}=\dfrac{90^{\circ}}{2}\\ \\ \alpha_{e}=45^{\circ}\\ \\ \dfrac{360^{\circ}}{n}=45^{\circ}\\ \\ 45^{\circ}\cdot n=360^{\circ}\\ \\ n=\dfrac{360^{\circ}}{45^{\circ}}\\ \\ n=8\text{ lados}.$


O polígono procurado é o octógono regular.