Question

considere a função: f(x)= x / 1+x^2. Determine os zeros, os pontos de inflexão, os pontos críticos e classifique-os quanto a máximos e mínimos;

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{x}{1 + x {}^{2} }$

A questão nos pede parar encontramos os zeros, os pontos de inflexão, os pontos críticos e classificar os pontos em máximos e mínimos. Vamos começar seguindo a ordem que está aí.

• Zeros da função:

O zero da função não é nada mais nada menos o valor de "x" que fazer a função zerar, ou seja, termos y = 0. Fazendo a substituição de y por 0:

$0 = \frac{x}{1 + x {}^{2} } \longrightarrow 0.(1 + x {}^{2} ) = x \longrightarrow x = 0$

O zero da função é x = 0.

• Pontos críticos:

Os pontos críticos são os valores que anulam a derivada primeira, portanto teremos que primeiro encontrar a derivada dessa função:

$f'(x) = \frac{x'.(1 + x {}^{2}) - x.(1 + x {}^{2}) '}{(1 + x {}^{2}) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{1.(1 + x {}^{2} ) - x.(2x)}{(1 + x {}^{2} ) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{1 + x {}^{2} - 2x {}^{2} }{(1 + x {}^{2} ) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{1 - x {}^{2} }{(1 + x {}^{2} ) {}^{2} }$

Agora é só igualar essa expressão a 0:

$f'(x) = 0 \longrightarrow ponto \: critico \\ \\ \frac{1 - x {}^{2} }{(1 + x {}^{2} ) {}^{2} } = 0\longrightarrow1 - x {}^{2} = 0.(1 + x {}^{2} ) {}^{2} \\ \\ 1 - x {}^{2} = 0\longrightarrow x {}^{2} = 1 \\ \\ \boxed{x = \pm1}$

Portanto os pontos críticos são -1 e 1.

• Máximos e Mínimos:

Para facilitar nossa vida, vamos usar o teste da derivada segunda, então vamos iniciar derivando a função derivada logo acima:

$f''(x) = \frac{2x {}^{5} - 4x {}^{3} - 6x}{(x {}^{2} + 1) {}^{4} }$

O teste da derivada segunda dá-se através da substituição dos pontos críticos na mesma, dependendo do sinal do resultado, o ponto será de máximo ou de mínimo.

• para x = -1

$f''( - 1) = \frac{2.( - 1) {}^{5} - 4.( - 1){}^{3} - 6.( - 1)}{(( { - 1})^{2} + 1) {}^{4} } \\ \\ f''( - 1) = \frac{ - 2 + 4 + 6}{16} \\ \\ f''( - 1) = \frac{1}{8}$

• para x = 1:

$f''(1) = \frac{2.1 {}^{5} - 4.1 {}^{3} - 6.1}{(1 {}^{2} + 1) {}^{4} } \\ \\ f''( 1) = \frac{2 - 4 - 6}{16} \\ \\ f''( 1) = - \frac{1}{8}$

Agora é só lembrar que:

$f'' (x)> 0 \to minimo \: \: \: \: e \: \: \: \: f''(x)< 0 \to maximo \\ x = 1 \to maximo \\ x = - 1 \to minimo$

• Pontos de inflexão:

Os pontos de inflexão são e encontrados quando a derivada segunda é igual a "0", então:

$\frac{2x {}^{5} - 4x {}^{3} - 6x }{(x {}^{2} + 1) {}^{4} } = 0 \\ \\ 2x {}^{5} - 4x {}^{3} - 6x = 0 \\ \\ 2x.(x {}^{4} - 2x {}^{2} - 3) = 0 \\ \\ 2x = 0 \: \: \: e \: \: \: x {}^{4} - 2x {}^{2} - 3 = 0 \\ \\ x _1 = 0 \: \: e \: \: x_2 = \sqrt{3}, \: x_3 = - \sqrt{3}$

Portanto temos que os pontos de inflexão são:

$pontos \: de \: inflex \tilde{a}o \to 0 , \: \sqrt{3} \: \: e \: \: - \sqrt{3}$

Espero ter ajudado