Question

Limite de √x-x/x^2-x quando x tende a 0

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to0} \frac{ \sqrt{x} - x}{x {}^{2} - x }$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende para observar se há ou não indeterminação:

$\frac{ \sqrt{0} - 0 }{0 {}^{2} - 0} = \frac{0}{0 }$

De fato surgiu uma Indeterminação do tipo 0/0, temos que fazer alguma manipulação a fim de sumir com essa tal indeterminação, a saída que eu vejo é fazer a multiplicação do numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:

$\frac{ \sqrt{x} - x}{x {}^{2} - x} . \frac{ \sqrt{x} + x}{ \sqrt{x} + x } = \frac{( \sqrt{x}) {}^{2} - (x) {}^{2} }{(x {}^{2} - x).( \sqrt{x} + x)} \\ \\ \frac{x - x {}^{2} }{(x {}^{2} - x).( \sqrt{x} + x)}$

Podemos reorganizar a expressão do numerador, colocando o número -1 em evidência:

$\frac{ - 1. \cancel{(x {}^{2} - x) }}{ \cancel{( {x}^{2} - x) }. ( \sqrt{x} + x ) } = \frac{-1}{ \sqrt{x} + x}$

Provavelmente devemos ter sumido com a indeterminação, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende novamente:

$\frac{-1}{ \sqrt{0} + 0} = \frac{-1}{0} = \nexists$

Daqui podemos ver que o limite não existe, isso pode ser provado fazendo os limites laterais tendendo a direta e a esquerda de 0:

$\lim_{x\to0 {}^{ + } } \frac{ \sqrt{x} - x}{x {}^{2} - x } =\lim_{x\to0 {}^{ - } } \frac{ \sqrt{x} - x}{x {}^{2} - x } \\ \\ \lim_{x\to0 {}^{ + } } \frac{-1}{ \sqrt{x} + x} = \lim_{x\to0 {}^{ - } } \frac{-1}{ \sqrt{x} + x} \\ \\ \frac{-1}{0 {}^{ + } + 0 {}^{ + } } = \frac{1}{0 {}^{ - } + 0 {}^{ - } }$

Sabemos que quando o denominador é zero, o limite tende a infinito, mas como eles tendem pela esquerda e pela direta, um será para mais infinito e outro para menos infinito:

$-\infty = + \infty \to n \tilde{a}o \: \acute{e} \: verdadadeiro$

Espero ter ajudado