Question

16. Sabe-se que a equação 5x2– 4x + 2m = 0 tem duas raízes
reais e diferentes. Nessas condições, determine o valor
de m.

Answer 1

É sabido que numa equação do 2º grau o delta define se ela terá raízes reais e diferentes, reais e iguais, ou não reais. Veja o que diz esta regra do delta:

$\small\begin{array}{l} \\ ~~~\bullet~ \: \sf se \: \: \Delta > 0~\to~x'~e~\:x''\!\in\mathbb{R},~\:com\:~x'\,\neq\, x''\\\\\end{array}$

Ou seja, se delta for maior que zero, a equação terá raízes reais e distintas

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Assim, calcule ∆ da equação:

$\begin{array}{l}\\\sf 5x^2-4x+2m=0\\\\\sf \Rightarrow~~a=5,~~b=-4,~~c=2m:\\\\\sf \Delta=b^2-4ac\\\\\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot5\cdot2m\\\\\!\boxed{\sf \Delta=16-40m}\\\\\end{array}$

Como nas condições que vimos delta deve ser maior que zero, então:

$\begin{array}{l}\\\sf \Delta > 0\\\\\sf 16-40m > 0\\\\\sf -40m > -16\\\\\sf 40m < 16\\\\\sf m < \dfrac{16}{40}\\\\\sf simplifique~por~8:\\\\\!\boxed{\sf m < \dfrac{2}{5}}\\\\\end{array}$

Assim, m deve ser menor que 2/5 para que a equação tenha duas raízes reais e diferentes

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Att. Nasgovaskov

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Answer 2

✅ Após terminar os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro  "m" é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m < \frac{2}{5} \:\:\:}}\end{gathered} }$

     

Se  a equação do segundo grau é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}5x^{2} - 4x + 2m = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                $\Large\begin{cases}a = 5\\b = -4\\c = 2m \end{cases}$

Sabendo que esta equação possui duas raízes reais e distintas, então significa dizer que o delta desta equação é maio r que "0", ou seja:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\Delta > 0 \end{gathered}$

Então, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}b^{2} - 4\cdot a\cdot c > 0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}(-4)^{2} - 4\cdot5\cdot2m > 0 \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}16 - 40m > 0 \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}-40m > -16 \end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}40m < 16 \end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}m < \frac{16}{40} \end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}m < \frac{2}{5} \end{gathered}$

✅ Portanto, o valor de "m" é:

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}m < \frac{2}{5} \end{gathered}$

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