Question

Geometria Analitica- obter equações parammétricas da reeta

Answer 1

Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $A(x_{_{0}};\,y_{_{0}};\,z_{_{0}})$ e possui o vetor $(a;\,b;\,c)$ como vetor diretor.

Então, uma equação desta reta é

$r:\;(x;\,y;\,z)=(x_{_{0}};\,y_{_{0}};\,z_{_{0}})+t\cdot (a;\,b;\,c)$


que pode ser reescrita na forma paramétrica:

$r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=x_{_{0}}+at\\ y=y_{_{0}}+bt\\ z=z_{_{0}}+ct \end{array} \right.$

(onde $t$ é escalar usado como parâmetro)


Então, para determinar a equação da reta, basta conhecermos um ponto da reta e um vetor diretor desta reta.


a) $A(3;\,-2;\,4) \in r$

Se a reta é paralela ao eixo $x,$, então podemos tomar o vetor unitário

$\mathbf{i}=(1;\,0;\,0)$

como vetor diretor da reta.


As equações paramétricas desta reta são:

$r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=3+t\\ y=-2\\z=4 \end{array} \right.$


b) $A(2;\,2;\,4) \in r$
 
Se a reta é perpendicular ao plano $xOz,$ então ela é paralela ao eixo $y.$ Então, podemos tomar o vetor unitário

$\mathbf{j}=(0;\,1;\,0)$

como vetor diretor da reta.


As equações paramétricas desta reta são:

$r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=2+t\\z=4 \end{array} \right.$


c) $A(-2;\,3;\,4)\in r$

Se a reta é simultaneamente ortogonal aos eixos $x$ e $y,$ então ela é paralela ao eixo $z.$ Sendo assim, podemos usar o vetor unitário

$\mathbf{k}=(0;\,0;\,1)$

como vetor diretor da reta.


As equações paramétricas desta reta são:

$r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=3\\z=4+t \end{array} \right.$


d) $A(4;\,-1;\,3) \in r$

Um vetor diretor desta reta é

$3\mathbf{i}-2\mathbf{j}\\ \\ =3\cdot (1;\,0;\,0)-2\cdot (0;\,1;\,0)\\ \\ =(3;\,0;\,0)+(0;\,-2;\,0)\\ \\ =(3;\,-2;\,0)$


Então, as equações paramétricas desta reta são:

$r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=4+3t\\ y=-1-2t\\z=3 \end{array} \right.$


e) $A(3;\,-1;\,3)\;\text{ e }\;B(3;\,3;\,4)\in r$

Usaremos o vetor $\overset{\to}{AB}$ como vetor diretor da reta:

$\overset{\to}{AB}=B-A\\ \\ \overset{\to}{AB}=(3;\,3;\,4)-(3;\,-1;\,3)\\ \\ \overset{\to}{AB}=(3-3;\,3+1;\,4-3)\\ \\ \overset{\to}{AB}=(0;\,4;\,1)$


Podemos tomar qualquer um dos pontos $A$ ou $B$ para construir a equação da reta. Tomando o ponto $A,$ as equações paramétricas desta reta são:

$r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-1+4t\\z=3+t \end{array} \right.$

Answer 2

 $\bmatrix A=(A_x,A_y,A_z)\to \text{Ponto que pertence a reta}\\\\V=(V_x,V_yV_z)\to \text{Vetor diretor da reta}\end$

$\Bmatrix x=A_x+t*V_x\\\\y=A_y+t*V_y\\\\z=A_z+t*V_z \end$

a) é paralela ao eixo x então as coordenadas y e z do vetor diretor são 0 
V=(1,0,0)

b) se é perpendicular ao eixo xoz
então as coordenadas x e z do vetor diretor são 0
V=(0,1,0)

c) se é ortogonal ao eixo x e y ..
as coordenadas do vetor x e y são 0 
V=(0,0,1)

d) tem direção 3i -2j 
vetor diretor V=(3,-2,0)

e) vetor diretor AB = B-A = (3,3,4) - (3,-1,3) = (0,4,1)
V=(0,3,1)....o ponto para colocar na equação paramétrica vc pode escolher A ou B tanto faz