Question

1° calcule o determinante das
matrizes abaixo 2 por 2
| 4 1 |
| 8 3 |

| 2 5 |
| 7 3 |

| 1 5 |
| 3 4 |

| 10 2 |
| 3 -1 |

2) calcule o determinante das matrizes 3×3 abaixo

| 1 2 3 |
| 2 5 6 |
| 2 5 8 |
_______

(3 2 1)
(1 5 2)
(2 1 4)

3) ( UEL-PR) o determinante mostrado na figura a seguir ( imagem abaixo ) é positivo sempre que

a) × > 0
b) × > 1
c) × < 1
d) × < 3
e)× > -3

| 1 0 - 1 |
| 0 × 0 |
| × 0 - 1 |

mim ajudem nessa prova pfvr é para entregar amanhã
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Answer 1

Para calcular o determinante de uma matriz 2x2 (duas linhas e duas colunas), multiplique uma diagonal, e subtraia da multiplicação de outra diagonal

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Para calcular o determinante de uma matriz 3x3 (três linhas e três colunas), use a Regra de Sarrus: adicione duas colunas iniciais ao lado da matriz, some o produto de uma diagonal (principal), e subtraia da soma do produto de outra diagonal (secundária)

Questão 1)

a)

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf 4&\sf 1\\\sf 8&\sf 3\end{vmatrix}\\\\\sf det=4\cdot3-(1\cdot8)\\\\\sf det=12-8\\\\\!\boxed{\sf det=4}\\\\\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf 2&\sf 5\\\sf 7&\sf 3\end{vmatrix}\\\\\sf det=2\cdot3-(5\cdot7)\\\\\sf det=6-35\\\\\!\boxed{\sf det=-29}\\\\\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf 1&\sf 5\\\sf 3&\sf 4\end{vmatrix}\\\\\sf det=1\cdot4-(5\cdot3)\\\\\sf det=4-15\\\\\!\boxed{\sf det=-11}\\\\\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf 10&\sf 2\\\sf 3&\sf -1\end{vmatrix}\\\\\sf det=10\cdot(-1)-(2\cdot3)\\\\\sf det=-10-6\\\\\!\boxed{\sf det=-16}\end{array}$

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Questão 2)

a)

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf 1&\sf 2&\sf 3\\\sf 2&\sf 5&\sf 6\\\sf 2&\sf5&\sf 8\end{vmatrix}\\\\\begin{vmatrix}\sf 1&\sf 2&\sf 3\\\sf 2&\sf 5&\sf 6\\\sf 2&\sf5&\sf 8\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf 2\\\sf 2&\sf 5\\\sf 2&\sf5\end{matrix} \\ \\ \sf det = 1.5.8 + 2.6.2 + 3.2.5 - [3.5.2 + 1.6.5 + 2.2.8]\\\\\sf det=40+24+30-[30+30+32]\\\\\sf det=94-92\\\\\!\boxed{\sf det=2}\\\\\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf 3&\sf 2&\sf 1\\\sf 1&\sf 5&\sf 2\\\sf 2&\sf1&\sf 4\end{vmatrix}\\\\\begin{vmatrix}\sf 3&\sf 2&\sf 1\\\sf 1&\sf 5&\sf 2\\\sf 2&\sf1&\sf 4\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 3&\sf 2\\\sf 1&\sf 5\\\sf 2&\sf1\end{matrix} \\ \\ \sf det =3.5.4 + 2.2.2 + 1.1.1- [1.5.2 + 3.2.1 + 2.1.4]\\\\\sf det=60+8+1-[10+6+8]\\\\\sf det=69-24\\\\\!\boxed{\sf det=45}\end{array}$

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Questão 3)

Para que o valor do determinante seja positivo, deve ser maior que zero, assim:

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf 1&\sf0&\sf -1\\\sf 0&\sf x&\sf 0\\\sf x&\sf 0&\sf -1\end{vmatrix} \sf \: > \:0 \\\\ \begin{vmatrix}\sf 1&\sf0&\sf -1\\\sf 0&\sf x&\sf 0\\\sf x&\sf 0&\sf -1\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf0\\\sf 0&\sf x\\\sf x&\sf 0\end{matrix} \sf \: \: > \:0 \\\\ \sf 1.x.( - 1) + 0.0.x + ( - 1).0.0 - [ - 1.x.x + 1.0.0 + 0.0.( - 1)] > 0\\\\\sf -x+0+0-[-x^2+0+0] > 0\\\\\sf -x+x^2 > 0\\\\\sf x\cdot(-1+x) > 0\\\\\underbrace{\sf x\cdot(x-1)} > 0\end{array}$

Dividindo em dois casos possíveis que esse produto pode ser positivo:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x > 0\\\sf x-1 > 0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x > 0\\\sf x > 1\end{cases}~~~~\sf (\, I\, )\\\\ \sf \: \: \: \: \: \: ou\\\\ \begin{cases}\sf x < 0\\\sf x-1 < 0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x < 0\\\sf x < 1\end{cases}~~~~\sf (\, II\, )\end{array}$

Assim fazendo a interseção de ( I ) e ( II ):

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x > 0\\\sf x > 1\end{cases}~~\Longleftrightarrow~~\begin{cases}\sf x > 1\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x < 0\\\sf x < 1\end{cases}~~\Longleftrightarrow~~ \begin{cases}\sf x < 0\end{cases}\end{array}$

Obtemos que o determinante sempre será positivo quando x é menor que zero, ou quando x é maior que um

$\begin{array}{l}\boldsymbol{\sf S=\Big\{\, x\in\mathbb{R}~/~x < 0\quad ou\quad x > 1\,\Big\}}\end{array}$

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Resposta: Letra B)

pois se encontra apenas x > 1 nas alternativas

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Att. Nasgovaskov