Question

Determine a esfera de centro em C(3, − 2, 1) que ´e tangente ao plano π : 2x − y − 2z − 15 = 0.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria analítica no plano tridimensional.

Seja uma esfera $E$ de centro $C~(3,\,-2,~1)$ tangente ao plano $\pi:~2x-y-2z-15=0$. Devemos determinar sua equação reduzida.

Para isso, lembre-se que para que uma esfera seja tangente a um plano, a distância de seu centro à sua projeção ortogonal no plano deve ser igual ao seu raio.

A distância de um ponto $(x_0,~y_0,~z_0)$ a um plano $ax+by+cz+d=0$ é dada pela fórmula: $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Assim, utilizando as informações dadas pelo enunciado, calculamos a distância entre o centro $C$ da esfera e o plano $\pi$:

$d=\dfrac{|2\cdot3-1\cdot(-2)-2\cdot1-15|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}$

Multiplique os valores e calcule as potências

$d=\dfrac{|6+2-2-15|}{\sqrt{4+1+4}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|-9|}{\sqrt{9}}$

Calcule o módulo do número e o radical no denominador

$d=\dfrac{9}{3}$

Simplifique a fração

$d=3$

Então, lembre-se que a equação reduzida de uma esfera de centro $(x_0,~y_0,~z_0)$ e raio $R$ é dada por: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

Substituindo as coordenadas do centro $C$ e fazendo $d=R$ de acordo com o que foi dito anteriormente, temos:

$(x-3)^2+(y-(-2))^2+(z-1)^2=3^2$

Efetue a propriedade de sinais e calcule a potência

$E:~(x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=9$

Esta é a equação reduzida desta esfera.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da superfície esférica tangente ao plano "π" é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \lambda: (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 9\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases} C(3, -2, 1)\\\pi: 2x - y - 2z - 15 = 0\end{cases}$

Para determinar a equação reduzida da superfície esférica devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} + (z - z_{C})^{2} = r^{2}\end{gathered}$

Para utilizarmos esta fórmula faz-se necessário conhecermos o valor do raio "r" da superfície esférica.  Sabendo que o raio é a distância entre o centro "C" da superfície esférica e o plano "π", então, fazemos:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} r = d_{\overline{C\pi}}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{|a_{\pi}x_{C} + b_{\pi}y_{C} + c_{\pi}z_{C} + d_{\pi}|}{\sqrt{a_{\pi}^{2} + b_{\pi}^{2} + c_{\pi}^{2}}}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{|2\cdot3 + (-1)\cdot(-2) + (-2)\cdot 1 + (-15)|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + (-2)^{2}}}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{|6 + 2 - 2 - 15|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}\end{gathered} }$

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}}\end{gathered} }$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{9}{3}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\end{gathered}$

Portanto, o valor do raio é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} r = 3\,u\cdot c\end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "I", temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 3)^{2} + (y - (-2))^{2} + (z - 1)^{2} = 3^{2}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 9\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da superfície esférica é:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda: (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 9\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$