Question

124. Determinar as equações das retas t que passam por P(2,3) e são tangentes
.: x2 + y2 - 2x - 2y - 3 = 0.​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 2y - 3 = 0 \: \: e \: \: P(2,3)$

A questão quer saber a reta tangente a essa circunferência que passa pelo ponto (2,3), de cara eu consigo imaginar duas formas de se fazer, a primeira é com a ajuda de derivada e a outra só com geometria analítica mesmo.

• Através de derivadas:

Primeiro vamos iniciar derivando implicitamente todos os termos dessa equação:

$\frac{d}{dx} (x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 2y - 3) = \frac{d}{dx} (0)$

A derivada da função "y" é composta, ou seja, deve-se aplicar a regra da cadeia:

$2x + 2y. \frac{dy}{dx} - 2 - 2. \frac{dy}{dx} = 0$

Isolando o termo dy/dx, temos:

$2y. \frac{dy}{dx} - 2\frac{dy}{dx} = 2 - 2x \\ \\ \frac{dy}{dx} (2y - 2) = 2 - 2x \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2x}{2y - 2} \equiv \frac{ 1 - x}{y - 1} }$

A definição algébrica de derivada, é justamente o coeficiente angular da reta tangente, então temos que o coeficiente será dado por essa expressão acima, mas como queremos valores numéricos, vamos substituir os valores do ponto em que a reta passa:

$\frac{dy}{dx} \equiv m \longrightarrow m = \frac{1 - 2}{3 - 1} \longrightarrow m = - \frac{1}{2}$

Pronto, agora é só montar a equação:

$y - y_0 = m(x-x_0) \\ y - 3 = - \frac{1}{2} (x-2) \\ y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 \: \: \: \: \: \\ x + 2y - 8 = 0 \: \: \: \: \: \: \:$

• Através de Geometria Analítica:

Primeiro devemos encontrar o centro dessa circunferência. (Farei rapidamente):

$x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 2y + 3 = 0 \\ - 2ax = - 2x \to a = 1 \\ - 2by = - 2y \to b = 1 \: \\ C(a,b) \to C(1,1) \: \: \:e \: \: \: r = \sqrt{5}$

Com esse ponto que representa o centro, podemos fazer uma equação da reta que passa pelo ponto de tangência P(2,3) e o centro da circunferência C(1,1), fazendo isso temos que:

$P(2,3) \: \: e \: \: C(1,1) \\ \\ m = \frac{1 - 3}{1 - 2} \to m = 2 \\ \\ y - 1 = 2(x-1) \\ r : 2x - y - 1 = 0$

Essa reta que passa pelo ponto de tangência e o centro, é perpendicular a equação da reta tangente que passa pelo ponto de tangência, então podemos lembrar que o coeficiente de retas perpendiculares é igual ao oposto do inverso uma da outra, então:

$m_s = \frac{-1}{m_r} \to m = \frac{ - 1}{2}$

Para finalizar, basta montar a equação com esse coeficiente angular e o ponto de tangência:

$y - y_0 = m(x-x_0) \\ y - 3 = - \frac{1}{2} .(x - 2) \\ y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \\ s : x + 2y - 8 = 0 \: \: \:$

Espero ter ajudado