Question

(UVA/2003.1) Qual o valor do termo médio do desenvolvimento de (2x+3y)8​

Answer 1

Temos o seguinte binômio:

$(2x + 3y) {}^{8}$

• Primeiro vamos lembrar que para um binômio possuir termo médio, o expoente do mesmo deve ser par.

Após garantir se é par ou não, devemos encontrar a posição desse termo, para isso basta dividir o expoente por 2 e somar 1:

$8/2 = 4 \: \: e \: \: 4 + 1 = 5$

Portanto temos que a posição é 5. Sabendo da posição, devemos substituir esse dado na relação p + 1 = c, para que possamos encontrar p:

$p + 1 = c \longrightarrow p + 1 = 5 \longrightarrow p = 4$

Agora como é que vamos encontrar o termo médio de um binômio com expoente tão alto?, para isso devemos usar a o termo geral do binômio, que calcula elementos específicos de um binômio, ele é dado por:

$\boxed{T_{p+1} = \binom{n}{p} a {}^{n - p} .b}$

• Sendo, a e b os termos do binômio, n o expoente e p a "posição".

Substituindo todos os dados que possuímos:

$T_{4+1} = \binom{8}{4} .(2x) {}^{8 - 4} .(3y) {}^{4} \\ \\ T_{5} = \frac{8!}{4!(8-4)!}.(2x) {}^{4} .(3y) {}^{4} \\ \\ T_{5} = \frac{8.7.6.5.4.3.2.1}{4.3.2.1.4.3.2.1} .16x {}^{4} .81y {}^{4} \\ \\ T_{5} = 70.16x {}^{4}.81y {}^{4} \\ \\ \boxed{T_{5} = 90720x {}^{4} y {}^{4} }$

Espero ter ajudado