Question

Dado o gráfico da curva y=-x^2+4. Com ajuda da integral calcule a área abaixo da função quadrática e acima do eixo x, no intervalo de 0 até 2.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = - x {}^{2} + 4$

A questão quer saber qual a área formada entre essa função e o eixo "x". Primeiramente deveríamos buscar os limites de Integração, mas como você pode observar pelo enunciado, a questão diz que o intervalo é de 0 à 2, ou seja, devemos integrar desde x = 0 até x = 2.

• Limites de Integração: x = 0 e x = 2.

Para montar a equação que corresponde a área formada, basta subtrair a função de cima pela função de baixo, ou seja, y = -x² + 4 subtraido de y = 0 (representação do eixo x).

$A = \int\limits_{0}^{2} - x {}^{2} + 4 - 0 \: dx \longrightarrow A =\int\limits_{0}^{2} - x {}^{2} + 4 \: dx$

Agora é só integrar essa função normalmente:

$A = \int - x {}^{2} + 4 \: dx \longrightarrow A = - \frac{x {}^{3} }{3} + 4x \bigg |_{0}^{2}$

Aplicando o Teorema Fundamental do cálculo:

$A = - \frac{2 {}^{3} }{3} + 4.2 - 0 \\ A = - \frac{8}{3} + 8 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ A = \frac{ - 8 + 24}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{A = \frac{16}{3} \: u.a} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado