Question

3In2-3In1-In1+In2 a equação inicial é integral definida de 1 e 0 em (2x-7)/(x+1)(x-2)
O x-2 divide o 2x-7 tb

Answer 1

Pelo que eu entendi, a integral é:

$\int\limits_{0}^{1} \frac{2x - 7}{(x + 1).(x - 2)} dx$

Para resolver essa integral, vamos inicialmente esquecer os limites de integração, deixando apenas a integral indefinida.

$\int \frac{2x - 7}{(x + 1).(x - 2) }dx$

Só de olhar para o denominador, já é possível notar que para resolver, devemos usar o método da integração por frações parciais, então:

$\frac{2x - 7}{(x + 1).(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2} \\ \\ \frac{2x - 7}{ \cancel{(x + 1).(x - 2)}} = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{ \cancel{(x + 1).(x - 2)}} \\ \\ 2x - 7 = Ax - 2A + Bx + B$

Lembrando da igualdade polinômial, sabemos que os termos em "x" devem ser igualados aos termos em "x" e os termos sem "x" devem ser igualados ao termos sem "x", logo:

$\begin{cases}Ax + Bx = 2x \\ - 2A + B = - 7\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}A + B = 2 \\ - 2A + B = - 7\end{cases}$

Agora é só resolver esse sistema e encontrar o valor de A e B. Vamos resolver pelo método da adição, ou seja, multiplicar a segunda equação por (-1) para que os termos B possam desaparecer momentaneamente:

$A + 2A + B - B = 2 + 7 \\ 3A = 9\longrightarrow A = 3$

Substituindo o valor de A em uma das equações para que possamos encontrar B:

$A + B = 2\longrightarrow 3 + B = 2 \\ B = 2 - 3\longrightarrow B = - 1$

Com esses valores em "mãos", vamos substituir esses dados na integral, pois:

$\int \frac{2x - 7}{(x + 1).(x - 2)} dx\longrightarrow \int \frac{3}{x + 1} + \frac{ - 1}{x - 2} dx$

Abrindo essa integral em duas, pois como sabemos a integral da soma é igual a soma das integrais, logo:

$\int \frac{3}{x + 1} dx + \int \frac{ - 1}{x - 2} dx$

Agora vamos retirar o termo constante de dentro da integral, já que as constantes transitam livremente para dentro e fora da integral:

$3 \int \frac{1}{x + 1} dx - 1 \int \frac{ 1}{x - 2} dx$

Observe que esse integrais são conhecidas, tratam-se do logarítmo natural do denominador:

$3 \ln( | x + 1| ) - \ln( | x - 2 | ) + k$

Agora devemos fazer realocar os limites de integração, pois não podemos esquecer deles. (Não precisa envolver a constante nesse cálculo, pois como a integral é definida, ela sumira no final do cálculo).

$3 \ln( |x + 1| ) - \ln( |x - 2| ) \bigg| _{0}^{1}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$3 \ln( |1 +1 | ) - \ln (|1 - 2| ) - 3\ln( | 0+ 1 | ) + \ln( |0 - 2)| \\ \\ \boxed{3 \ln(2) - \ln(1) - 3 \ln(1) + \ln(2)}$

Lembre-se que o logarítmo natural de 1 é 0.

Espero ter ajudado