Question

2) (valor: 1,0) Calcule os zeros, as coordenadas do vértice, a imagem e esboce o gráfico da função f(x) = x ^ 2 - 5x + 6 .​

Answer 1

Temo uma função polinomial do 2º grau (quadrática), ou seja, o maior expoente de "x" (variável) é 2 e, portanto, sua representação gráfica será dada por uma parábola.

A função polinomial de 2º grau é escrita na forma  ax²+bx+c, sendo que o coeficiente "a" é, necessariamente, diferente de 0.

Para que o gráfico esteja plotado/esboçado de forma apropriada, devemos apresentar alguns pontos que caracterizam a função dada:

--> Ponto(s) onde a curva intersepta o eixo das abcissas (eixo x), caso exista(m), sendo dados pelas raízes Reais da função;

--> Ponto onde a curva intersepta o eixo das ordenadas (eixo y), dado pelo coeficiente "c" da função;

--> Ponto de máximo ou mínimo da função, dado pelo seu vértice.

Além destes, caso se queira um desenho mais preciso, podemos ainda calcular outros pontos simplesmente substituindo "x" na função por um valor qualquer (dentro do domínio).

Não foram dadas restrições ao domínio da função, logo consideraremos que o domínio seja o conjunto dos Reais.

Vamos começar extraindo o valor dos coeficientes desta função:

a = 1

b = -5

c = 6

Concavidade

A parábola terá sua concavidade voltada para cima quando o coeficiente "a" for positivo e para baixo quando o coeficiente "a" for negativo.

Como é nesta função vale 1, um número positivo, a concavidade da parábola estará voltada para cima.

Raízes (ou zeros)

Utilizando Bhaskara podemos determinar a(s) raiz(es) da função, ou seja, o(s) ponto(s) onde a curva interceptará o eixo das abcissas.

$\Delta~=~b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta~=~(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6\\\\\Delta~=~25-24\\\\\boxed{\Delta~=~1}\\\\\\x'~=~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{5+1}{2}~=~\dfrac{6}{2}~\Rightarrow~\boxed{x'~=~3}\\\\\\x''~=~\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{5-1}{2}~=~\dfrac{4}{2}~\Rightarrow~\boxed{x''~=~2}$

Teremos então a parábola interceptando o eixo das abcissas nos pontos (2,0) e (3,0).

Interceptação do eixo y

Como dito antes, o ponto onde a parábola toca o eixo das ordenadas (eixo y) é dado pelo coeficiente "c".

Como "c" vale 6, veremos a parábola tocando o eixo y no ponto (0,6)

Vértice

Como a parábola tem sua concavidade voltada para cima, o vértice representará o ponto mínimo da função.

Vamos calcular este ponto:

$\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{-5}{2\cdot 1}~,\,-\dfrac{1}{4\cdot 1}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{-5}{2}~,\,-\dfrac{1}{4}\right)\\\\\\\boxed{\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(\dfrac{5}{2}~,\,-\dfrac{1}{4}\right)}$

Como estamos considerando o domínio como os Reais, a imagem da função será dada pelo intervalo [-1/4 , ∞[ , ou seja, o menor valor que a função assume é -1/4 (coordenada "y" do vértice), mas não tem valor máximo, a função cresce indefinidamente.

Para finalizarmos, basta localizarmos os pontos, vistos acima, no plano cartesiano e traçar uma parábola por eles. Novamente, caso seja de interesse uma melhor precisão, podemos calcular outros pontos da parábola.

Ao final, seu desenho deve ser semelhante ao que é apresenta na figura anexada à resolução.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$