Question

Ache, POR INTEGRAÇÃO, a área do trapézio tendo vértices A(-1,-1), B(2,2), C(6,2) e D(7,-1).

Sei que através de Geometria Analítica/Álgebra Linear esse cálculo também é possível, mas como seria por integral definida?​

Answer 1

Devemos inicialmente definir as equações das 4 retas que delimitam a figura. Vamos representar as retas horizontais pelas funções $f(x)=-1$ e $g(x)=2$. Temos também duas retas oblíquas, uma que passa por (-1, -1) e (2, 2) e outra que passa por (6, 2) e (7, -1).

Começando pela que passa por (-1, -1) e (2, 2), sendo ela uma função $h(x)$, temos que:

$\frac{2-(-1)}{2-(-1)}=\frac{h(x)-(-1)}{x-(-1)}$

$h(x)+1=x+1$

$h(x)=x$

Por fim, vamos à reta $j(x)$ que passa por (6, 2) e (7, -1):

$\frac{2-(-1)}{6-7}=\frac{j(x)-(-1)}{x-7}$

$-3=\frac{j(x)+1}{x-7}$

$j(x)+1=-3(x-7)$

$j(x)=-3x+20$

Podemos agora passar para o cálculo integral. Podemos dividir o trapézio em dois triângulos e um retângulo. O 1º triângulo é limitado superiormente por $h(x)$ e inferiormente por $f(x)$. Os limites de integração são os pontos em que $h(x)$ intercepta as retas horizontais. No caso de $f(x)$, este ponto é tal que:

$h(x)=f(x)$

$x=-1$

Em $g(x)$, este valor é:

$h(x)=g(x)$

$x=2$

Com isso concluímos que a área em questão é dada por:

$A_1=\int_{-1}^2h(x)-f(x)\;dx$

No caso do retângulo, ele é limitado pelas retas horizontais. O limite de integração inferior é 2 enquanto o superior é o ponto de interseção entre $g(x)$ e $j(x)$, sendo este valor dado por:

$j(x)=g(x)$

$-3x+20=2$

$-3x=-18$

$x=\frac{-18}{-3}=6$

Daí tiramos que a área do quadrado é dada por:

$A_2=\int_2^6g(x)-f(x)\;dx$

Por fim, temos a área do 2º triângulo, limitado superiormente por $j(x)$ e inferiormente por $f(x)$. O limite de integração inferior é 6 enquanto o superior é o ponto de interseção entre $j(x)$ e $f(x)$, sendo este valor dado por:

$j(x)=f(x)$

$-3x+20=-1$

$-3x=-21$

$x=\frac{-21}{-3}=7$

Daí tiramos que a área do 2º triângulo é dada por:

$A_3=\int_6^7j(x)-f(x)\;dx$

Basta agora somarmos as 3 áreas:

$A=A_1+A_2+A_3$

$A=\int_{-1}^2x-(-1)\;dx+\int_2^62-(-1)\;dx+\int_6^7-3x+20-(-1)\;dx$

$A=\int_{-1}^2x+1\;dx+\int_2^63\;dx+\int_6^7-3x+21\;dx$

$A=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^2+\left[3x\right]_2^6+\left[-\frac{3x^2}{2}+21x\right]_6^7$

$A=\frac{9}{2}+12+\frac{3}{2}$

$A=18\;u.a$