Question

2,131616... em dízima periódica?

Answer 1

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{2,13\overline{16}}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{21.103}{9.900} }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Bear, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas. ✌

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{ 2,13\overline{16} }}}$

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☔ Quando trabalhamos com frações geratrizes devemos seguir basicamente cinco passos. Chamando nossa dízima periódica de X temos que:

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1. Identificar qual é o período;
2. Multiplicar o nosso número X por uma potência de $\sf 10^m$ de forma que 1 único período da dízima fique do lado esquerdo da vírgula;
3. Subtrair pelo nosso número X multiplicado por uma potência de $\sf 10^n$ de forma que a dízima esteja exatamente à direita da vírgula;
4. Igualar a subtração à $\sf (10^m - 10^n) \cdot x$;
5. Substituir os valores de X na esquerda da igualdade e encontrar o valor de X da direita da igualdade.

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1)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Período: 16

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2)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\large\blue{\sf x \cdot 10^4 }$

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3)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\large\blue{\sf - x \cdot 10^2 }$

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4)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\large\blue{\sf = (10^4 - 10^2) \cdot x }$

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5)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\large\blue{\sf x \cdot 10^4 - x \cdot 10^2 = (10^4 - 10^2) \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf 21.316,\overline{16} - 213,\overline{16} = 9.900 \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf 21.316 + 0,\overline{16} - 213 - 0,\overline{16} = 9.900 \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf 21.316 - 213 + 0,\overline{16} - 0,\overline{16} = 9.900 \cdot x }$

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☔ Este é o momento da mágica em que a dízima "desaparece"

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➡ $\large\blue{\sf 21.103 = 9.900 \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf x = \dfrac{21.103}{9.900} }$

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☔ Para encontrarmos a forma irredutível desta fração podemos fazer uma fatoração conjunta de ambos os termos e observar qual é o M.D.C. deles através dos fatores primos que dividem ambos simultaneamente . Neste caso, em que o número 21.103 possui uma fatoração mais trabalhosa, vamos fatorar o 9.900 e analisar se algum de seus fatores divide 21.103

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$\sf\large\blue{\begin{array}{cc|cl}&&&\sf\underline{~F~}\\&\\9.900&&&2\\&&&\\4.950&&&2\\&&&\\2.475&&&3\\&&&\\825&&&3\\&&&\\275&&&5\\&&&\\55&&&5\\&&&\\11&&&11\\&&&\\1&&&\gray{\boxed{\LARGE\blue{\sf 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11}}}\\\end{array}}$

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☔ Lembrando que a notação ∤ significa "não divide" então temos que

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➡ 2 ∤ 21.103

➡ 3 ∤ 21.103

➡ 5 ∤ 21.103

➡ 11 ∤ 21.103

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☔ Portanto, sendo 21.103 e 9.900 primos entre si temos que esta é a fração geratriz irredutível.

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{2,13\overline{16}}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{21.103}{9.900} }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

Resposta:

sim, é uma dízima, podemos obter a fração do seguinte modo:

x= 2,131616 ...

100.x= 213,1616...

-    x = -    2,1316...

99.x= 211,03

99.x= 211 +0,03

99.x= 211 +3/100 tirando  m.m.c.= 100

9900.x= 21100 +3

x=21103/9900

Explicação passo-a-passo: