Question

lim x->infinito (1-12x^3)/4x^2+12)

Answer 1

Regra de L'Hospital

Se

- $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0~~~e~~~\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$

ou

- $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty~~~e~~~\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=\pm\infty$

Então,

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
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Existem limites no infinito que podemos resolver facilmente dividindo o numerador e o denominador pela maior potência que ocorre no denominador, mas nesse caso eu não acho que o resultado fique claro, portanto prefiro usar a regra acima

Veja que

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1-12x^{3})=-\infty~~e~~\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(4x^{2}+12)=\infty$

Portanto, podemos usar a Regra de L'Hospital

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1-12x^{3}}{4x^{2}+12}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{d}{dx}(1-12x^{3})}{\frac{d}{dx}(4x^{2}+12)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1-12x^{3}}{4x^{2}+12}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{0-12\frac{d}{dx}x^{3}}{4\frac{d}{dx}(x^{2})+0}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1-12x^{3}}{4x^{2}+12}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{-12\cdot3x^{2}}{4\cdot2x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1-12x^{3}}{4x^{2}+12}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}-\dfrac{9x^{}}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1-12x^{3}}{4x^{2}+12}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{-12\cdot3x^{2}}{4\cdot2x}=-\infty}}$