Question

Resolva a seguinte equação diferencial.

$\displaystyle\cos^2(xy')=\cos^2(y)$

Answer 1

Resposta:

y₁(x) = Cx e y₂(x) = C/x

Explicação passo-a-passo:

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1. Queremos determinar as soluções para a equação diferencial:

$\mathsf{cos^2(xy')=cos^2(y)}$

2. Aplique a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

$\mathsf{cos(xy')=cos(y)}$

3. Como os valores de cosseno são iguais, logo seus argumentos (ângulos) também devem ser; temos:

$\mathsf{xy'=y\qquad(1)}$    

4. Mas o cosseno é uma função par, isto é, cos(-x) = cos(x), então temos também que:

$\mathsf{-xy'=y\qquad(2)}$

Vamos resolver a equação para os dois casos.

• Caso 1:

1. Lembre-se que y' = dy/dx, portanto devemos resolver a seguinte equação separável:

$\mathsf{x\dfrac{dy}{dx}=y}$

Portanto:

$\mathsf{x\,dy=y\,dx}\\\\\mathsf{\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}}$

2. Integre ambos os lados:

$\displaystyle \mathsf{\int \dfrac{dy}{y}=\int \dfrac{dx}{x}}\\\\\mathsf{\ell n |y| + c_1=\ell n |x| +c_2}\\\\\mathsf{\ell n |y|=\ell n |x|+C_1}\quad \mathsf{;onde\quad C_1=c_2-c_1}}$

3. Aplique o expoente natural dos dois lados da igualdade:

$\mathsf{e^{\ell n |y|}=e^{\ell n |x|+C_1}}\\\\\mathsf{y=e^{\ell n |x|}\cdot e^{C_1}}\\\\\mathsf{y=x\cdot e^{C_1}}\\\\\therefore\boxed{\mathsf{y_1=Cx}}$

Conclusão: a primeira solução para a equação diferencial é y₁(x) = Cx.

• Caso 2:

1. Fazendo a substituição y' = dy/dx, devemos resolver a seguinte equação separável:

$\mathsf{-x\dfrac{dy}{dx}=y}$

Portanto:

$\mathsf{-x\,dy=y\,dx}\\\\\mathsf{\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}}$

2. Integre ambos os lados:

$\displaystyle \mathsf{\int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{dx}{x}}\\\\\mathsf{\ell n |y| + c_1=-\ell n |x| +c_2}\\\\\mathsf{\ell n |y|=\ell n |1/x|+C_1}\quad \mathsf{;onde\quad C_1=c_2-c_1}}$

3. Aplique o expoente natural dos dois lados da igualdade:

$\mathsf{e^{\ell n |y|}=e^{\ell n |1/x|+C_1}}\\\\\mathsf{y=e^{\ell n |1/x|}\cdot e^{C_1}}\\\\\mathsf{y=\dfrac{1}{x}\cdot e^{C_1}}\\\\\therefore\boxed{\mathsf{y_2=\dfrac{C}{x}}}$

Conclusão: a segunda solução para a equação diferencial é y₂(x) = C/x.

Continue aprendendo com o link abaixo:

EDO separável

https://brainly.com.br/tarefa/33080626

Bons estudos!

Equipe Brainly

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação diferencial, devemos nos relembrar algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.

Seja a equação diferencial:

$\cos^2(xy')=\cos^2(y)$

Aplique a fórmula de transformação em arco duplo: $\boxed{\cos^2(\theta)=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}$

$\dfrac{1+\cos(2xy')}{2}=\dfrac{1+\cos(2y)}{2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $2$ e subtraia $1$.

$\cos(2xy')=\cos(2y)$

Subtraia $\cos(2y)$ em ambos os lados da equação

$\cos(2xy')-\cos(2y)=0$

Aplique a fórmula de transformação de soma em produto: $\boxed{\cos(p)-\cos(q)=-2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}$.

$-2\sin\left(\dfrac{2xy'+2y}{2}\right)\sin\left(\dfrac{2xy'-2y}{2}\right)=0$

Simplifique as frações

$-2\sin(xy'+y)\sin(xy'-y)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero.

Assim, teremos duas soluções para esta equação diferencial:

$\sin(xy'+y)=0$ ou $\sin(xy'-y)=0$

Para que o seno de um argumento seja zero, utilizamos o menor inteiro cujo esta condição é satisfeita: zero.

$xy'+y=0~\bold{(I)}$ ou $xy'-y=0~\bold{(II)}$

Resolvendo $\bold{(I)}$:

Subtraia $y$ em ambos os lados da equação

$xy'=-y$

Esta é uma equação dita separável. Multiplique ambos os lados da equação por $\dfrac{1}{xy}$.

$\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{1}{x}$

Sabendo que $y=y(x)$, fazemos $y'=\dfrac{dy}{dx}$ e multiplicamos ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$.

$\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}$

Calcule a integral de ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int-\dfrac{dx}{x}}$

Aplique as propriedades: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C}$

$\ln|y|=-(\ln|x|+C_1)\\\\\\ \ln|y|=-\ln|x|+C_2,~\boxed{C_2=-C_1}$

Considere $C_2=\ln(C_3)$ e aplique as propriedades de logaritmos: $a\cdot\log(b)=\log(b^a)$ e $\log(a)+\log(b)=\log(a\cdot b)$, satisfeitas as condições de existência.

$\ln|y|=\ln|x^{-1}|+\ln(C_3)\\\\\\ \ln|y|=\ln\left|\dfrac{C_3}{x}\right|$

Igualando os logaritmandos, temos a primeira solução

$y=\dfrac{C_3}{x},~C_3\in\mathbb{R}$

Resolvendo $\bold{(II)}$:

Some $y$ em ambos os lados da equação

$xy'=y$

Multiplique ambos os lados da equação por $\dfrac{1}{xy}$

$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x}$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dx$ e calcule a integral

$\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{dx}{x}}\\\\\\ \ln|y|=\ln|x|+C_5$

Considere $C_5=\ln(C_6)$ e aplique a propriedade de logaritmos

$\ln|y|=\ln|C_6x|$

Igualando os logaritmandos, temos a segunda solução:

$y=C_6x,~C_6\in\mathbb{R}$

Estas são as soluções desta equação diferencial.