Question

Urgente please! Me ajudem! Preciso muito a vossa ajuda!​

Answer 1

2.1.

Basta calcularmos $f(0)$:

$f(0)=\frac{120}{1+e^{-0,04\cdot0}}$

$f(0)=\frac{120}{1+e^{0}}$

$f(0)=\frac{120}{1+1}$

$f(0)=\frac{120}{2}=60\;\text{milhares de habitantes}$

2.2.

Como a escala da função está em milhares, Igualamos $f(t)$ a 90:

$f(t)=90$

$\frac{120}{1+e^{-0,04t}}=90$

$1+e^{-0,04t}=\frac{120}{90}$

$1+e^{-0,04t}=\frac{4}{3}$

$e^{-0,04t}=\frac{4}{3}-1$

$e^{-0,04t}=\frac{1}{3}$

$-0,04t=\ln(1/3)$

$-0,04t=\ln(3^{-1})$

$-0,04t=-\ln3$

$t=\frac{\ln3}{0,04}\cong 27,4653\;\text{anos}$

Daí tiramos que esse número de habitantes é atingindo após pouco mais de 27 anos, ou seja, em 1920+27 = 1947.

2.3.

Quando $t$ tende ao infinito, temos que:

$\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{120}{1+e^{-0,04t}}$

$\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\frac{120}{\lim_{t\rightarrow \infty}1+e^{-0,04t}}$

$\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\frac{120}{1+\lim_{t\rightarrow \infty}e^{-0,04t}}$

Para valores cada vez maiores de $t$, o valor de $e^{-0,04t}$ tende a 0, logo:

$\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\frac{120}{1+0}$

$\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=120$

Conclui-se com isso que o número de habitantes tende a se estabilizar em 120 mil habitantes.