Question

Obtenha as equações das tetas tangentes à circunferência:
$x {}^{2} + y {}^{2} = 1$
que passam pelo ponto P(-2,2)

OBS: dê a resposta mais simplificada possível.​

Answer 1

Considerando que $m$ é o coeficiente angular das retas em questão, temos que:

$m=\frac{y-2}{x+2}$

$y-2=m(x+2)$

$y-2=mx+2m$

$mx-y+2m+2=0$

pela equação da circunferência, ela possui centro (0, 0) e raio 1. Como as retas são tangentes, a distância delas ao centro da circunferência deve ser exatamente igual ao seu raio.

Sabe-se que a distância de uma reta de equação $ax+by+c=0$ até um ponto $(x_p,y_p)$ é dada por:

$d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os valores:

$d=\frac{|m\cdot0-1\cdot0+2m+2|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=1$

$|2m+2|=\sqrt{1+m^2}$

$(|2m+2|)^2=(\sqrt{1+m^2})^2$

$4m^2+8m+4=1+m^2$

$3m^2+8m+3=0$

$m=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot3\cdot3}}{2\cdot3}$

$m=\frac{-8\pm\sqrt{64-36}}{6}$

$m=\frac{-8\pm\sqrt{28}}{6}$

$m=\frac{-8\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-4\pm\sqrt{7}}{3}$

Basta agora substituir $m$ na equação da reta:

$y-2=m(x+2)$

$y=2+m(x+2)$

$y=2+\frac{-4\pm\sqrt{7}}{3}\cdot(x+2)$

Segue anexado uma representação gráfica do problema.