Question

Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função f abaixo no ponto de abscissa indicado.

(a) f(x) = x^2 − 5x + 6, x0 = 2
(b) f(x) = (x − 1)/(x + 3), x0 = 3
(c) f(x) = sen x, x0 =π/4

Answer 1

A reta $g(x)$ tangente à função $f(x)$ no ponto $x=x_0$ é dada por:

$f'(x_0)=\frac{g(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$g(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

$g(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Onde $f'(x_0)$ é igual à derivada de $f(x)$ no ponto $x=x_0$.

a)

Derivando $f(x)$, achamos que $f'(x)=2x-5$ logo $f'(2)=2\cdot2-5=-1$. Temos então que:

$g(x)=f(2)+f'(2)(x-2)$

$g(x)=2^2-5\cdot2+6-(x-2)$

$g(x)=-x+2$

b)

Derivando $f(x)$:

$f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}(x-1)\cdot(x+3)-\frac{d}{dx}(x+3)\cdot(x-1)}{(x+3)^2}$

$f'(x)=\frac{1\cdot(x+3)-1\cdot(x-1)}{(x+3)^2}$

$f'(x)=\frac{x+3-(x-1)}{(x+3)^2}$

$f'(x)=\frac{4}{(x+3)^2}$

logo $f'(3)=4/[(3+3)^2]=4/36=1/9$. Temos então que:

$g(x)=f(3)+f'(3)(x-3)$

$g(x)=\frac{3-1}{3+3}+\frac{1}{9}\,(x-3)$

$g(x)=\frac{1}{3}+\frac{x}{9}-\frac{1}{3}$

$g(x)=\frac{x}{9}$

c)

Derivando $f(x)$, achamos que $f'(x)=\cos x$ logo $f'(\pi/4)=\cos\pi/4=\sqrt{2}/2$. Temos então que:

$g(x)=f(\pi/4)+f'(\pi/4)(x-\pi/4)$

$g(x)=\sin\pi/4+\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\pi/4)$

$g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{x\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi\sqrt{2}}{8}$

$g(x)=\frac{4\sqrt{2}\,x+(4-\pi)\sqrt{2}}{8}$