Question

A região limitada pela circunferência de equação
x² + y² – 6x – 4y – 36 = 0 tem superfície com
unidade de área igual a
a) $\frac{81}{4}$$\pi$.
b) 25$\pi$.
c) 49$\pi$.
d) $\frac{121}{4} \pi$.
e) 36$\pi$.

Answer 1

Equação geral de uma circunferência:

$(x-C_x)^2 +(y-C_y)^2 = r^2$

Queremos chegar a algo parecido com a equação acima:

$x^2 +y^2 -6x-4y -36=0$

$(x^2-6x )+(y^2 -4y) =36$

$(x^2-6x+0)+(y^2 -4y+0) =36$

$[x^2-6x+(9-9)]+[y^2 -4y+(4-4)] =36$

$(x^2-6x+9)+(y^2 -4y+4)-13 =36$

$(x^2-6x+9)+(y^2-4y+4)=49$

$(x-3)^2+(y-2)^2=49$

Como o raio elevado ao quadrado é igual a 49, temos que sua área é igual a:

$A = \pi \cdot r^2 \\~\\A = 49\pi$

Answer 2

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{c)}~\blue{ 49\pi }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Vtby, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ Temos na geometria que a equação (❌ veja que eu disse equação, e não função, pois por ter mais de um valor em y para o mesmo x a circunferência não é configurada como uma função❌ ) para a circunferência é dada por

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf x_0, y_0 }}$  sendo o par ordenado do centro da circunferência.

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$\Large\gray{\boxed{\sf\orange{ x^2 - 2 \cdot x \cdot x_0 + x_0^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot y_0 - y_0^2= r^2 }}}$

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☔ Comparando com nossa equação temos que

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➡ $\large\blue{\sf -2 \cdot \diagup\!\!\!\!{x} \cdot x_0 = -6 \cdot \diagup\!\!\!\!{x} }$

➡ $\large\blue{\sf  -2 \cdot x_0 = -6 }$

➡ $\large\blue{\sf x_0 = \dfrac{6}{2} }$

➡ $\large\blue{\sf x_0 = 3 }$

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➡ $\large\blue{\sf -2 \cdot \diagup\!\!\!\!{y} \cdot y_0 = -4 \cdot \diagup\!\!\!\!{y} }$

➡ $\large\blue{\sf  -2 \cdot y_0 = -4 }$

➡ $\large\blue{\sf y_0 = \dfrac{4}{2} }$

➡ $\large\blue{\sf y_0 = 2 }$

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➡ $\large\blue{\sf x_0^2 +  y_0^2 - r^2 = -36 }$

➡ $\large\blue{\sf 3^2 +  2^2 - r^2 = -36 }$

➡ $\large\blue{\sf 9 +  4 - r^2 = -36 }$

➡ $\large\blue{\sf 13 - r^2 = -36 }$

➡ $\large\blue{\sf 13 + 36 = r^2 }$

➡ $\large\blue{\sf 49 = r^2 }$

➡ $\large\blue{\sf \sqrt{r^2} = \pm \sqrt{49} }$

➡ $\large\blue{\sf r = \pm 7 }$

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☔ Como o raio é uma grandeza de comprimento então assumiremos somente a solução positiva da raiz

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➡ $\large\blue{\sf r = 7 }$

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☔ Temos que a área de um círculo é dada pela equação

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm A_c = \pi \cdot r^2 }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \pi }}$ sendo um número real de valor aproximado a 3,14;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{r}}$ sendo o raio [m].

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☔ Com os termos do enunciado temos que

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➡ $\large\blue{\sf A_c = \pi \cdot 7^2 }$

➡ $\large\blue{\sf A_c = 49 \cdot \pi }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{c)}~\blue{ 49\pi }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$