Question

5- Determine a soma dos vinte e cinco primeiros termos da PA (-5, 0, 5, 10, ...).​

Answer 1

A soma dos vinte e cinco primeiros termos é 1 375.

r = a2 - a1

r = 0 - (-5) = 5

an = a1 + (n - 1) . r

a25 = -5 + 24 . 5

a25 = -5 + 120

a25 = 115

Sn = (a1 + an) .  n/2

S25 = (-5 + 115) . 25/2

S25 = 110 . 25/2

S25 = 2 750/2

S25 = 1 375

Answer 2

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$\huge\green{\boxed{\blue{\sf~~~S_{25} = 1.100~~~}}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Maria, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ Para encontrarmos a razão de uma P.A. quando temos dois números seguidos é simples: basta subtrairmos o segundo pelo primeiro.

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$\LARGE\gray{\boxed{\rm\blue{r = 0 - (-5) = 5}}}$

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☔ Já para encontrar o n-ésimo termo, caso ele seja um dos primeiros, podemos também encontrá-lo de forma quase intuitiva ao encontrarmos todos os seus antecessores, um por um. Mas e se o n-ésimo termo for o 50º? Ou o 100º? Pela estrutura da progressão aritmética apresentar um comportamento padronizado podemos generalizar o processo através da equação

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\rm a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf a_n }}$ sendo o n-ésimo termo da p.a.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf a_1 }}$ sendo o primeiro termo da p.a.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf n }}$ sendo a posição do termo na p.a.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf r }}$ sendo a razão da p.a.

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➡ $\large\blue{\sf a_{25} = (-5) + (25 - 1) \cdot 5}$

➡ $\large\blue{\sf a_{25} = (-5) + 24 \cdot 5}$

➡ $\large\blue{\sf a_{25} = (-5) + 120}$

➡ $\large\blue{\sf a_{25} = 115}$

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☔ Para encontrarmos a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética utilizamos a equação

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm S_n = \dfrac {(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a_n }}$ sendo o n-ésimo termo da p.a.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a_1 }}$ sendo o primeiro termo da p.a.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf n }}$ sendo a posição do termo na p.a.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf S_n }}$ sendo a soma dos n primeiros termos da P.G.

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☔ Portanto, com os termos do enunciado temos que

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➡ $\large\blue{\sf S_{25} = \dfrac{(-5 + 115) \cdot 20}{2}}$

➡ $\large\blue{\sf S_{25} = \dfrac{(110) \cdot 20}{2}}$

➡ $\large\blue{\sf S_{25} = \dfrac{2.200}{2}}$

➡ $\large\blue{\sf S_{25} = 1.100}$

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$\huge\green{\boxed{\blue{\sf~~~S_{25} = 1.100~~~}}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$