Question

No ano de 1993, um grupo de mães, cujos filhos encontram-se desaparecidos, decidiram se organizar e fundaram uma ONG para auxiliar na procura. A função M(x) = 50(2x³ - 45x² + 264x) representa o número de associados a esta ONG, x anos após a sua fundação.

a) Em que ano, esta associação teve o maior número de membros? R: 1997
b) Em que ano esta associação teve o menor número de membros? R: 2004
c) Quais foram o maior e o menor número de membros? R: 50.200 e 6050 membros

Answer 1

Existindo um x₀ tal que:

M'(x₀) = 0

Então:

Se M''(x₀) > 0, x₀ é ponto de mínimo
Se M''(x₀) < 0, x₀ é ponto de máximo
--------------------------------------------------------
M(x) = 50(2x³ - 45x² + 264x)

M'(x) = 50(6x² - 90x + 264)
M'(x) = 0
50(6x² - 90x + 264) = 0
6x² - 90x + 264 = 0
x² - 15x + 44 = 0
(x - 11) (x - 4) = 0

Raízes: x₁ = 11 e x₂ = 4 -> São pontos de máximo ou mínimo de M(x)
--------------------------------------------------------
M''(x) = 50(12x - 90)

M''(4) = 50(12*4 -90) = 50(48 - 90) = -2100 (Segunda derivada negativa, ponto de máximo)

M''(11) = 50(12*11 -90) = 50(132 - 90) = 2100 (Segunda derivada positiva, ponto de mínimo)

x₁ = 11 (ponto de mínimo) e x₂ = 4 (ponto de máximo)
--------------------------------------------------------

a) Em que ano, esta associação teve o maior número de membros?
Como o ano x = 1 é o primeiro ano após a fundação, ou seja 1993 + 1 = 1994, então o ponto máximo x = 4 representa o ano 1993 +4 = 1997

b) Em que ano esta associação teve o menor número de membros?
Análogo ao anterior, mas para x =11, 1993 + 11 = 2004

c) Quais foram o maior e o menor número de membros?

M(4) = 50 (2*4³ - 45*4² +264*4) = 50200

M(11) =  50 (2*11³ - 45*11² +264*11) = 6050