Question

LIMX->1 X^2-1/(X-1)^2

Answer 1

$\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}\\ \\ \\ =\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(x-1)\,(x+1)}{(x-1)^{2}}$


Podemos simplificar um fator $(x-1)$ no numerador e no denominador, chegando a

$=\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x+1}{x-1}$


Ainda assim, temos uma indeterminação do tipo $k/0.$ Mas, analisando o sinal do numerador e do denominador na vizinhança de $1,$ temos que

$\bullet\;\;$ Para $x<1,$

$x+1=2>0\\ \\ x-1<0$


$\bullet\;\;$ Para $x>1,$

$x+1=2>0\\ \\ x-1>0$


Como a função limitando muda de sinal na vizinhança de $1,$ então o limite

$\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}$

não existe.