Question

recuperação de matemática ​

Answer 1

Resposta:

2 cm

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, temos em mente que a fórmula da área de uma circuferência é , nesse caso, temos que a área é igual a $\pi r^2$. Agora, a questão nos pede em quanto centímetros o raio deve ser aumentado para que a nova área seja igual a $144\pi$. Primeiramente, analisando a fórmula, temos

$\pi r^2 = 100\pi$

Note que podemos cortar o  de ambos os lados, ficando apenas com, $r^2 = 100$, sabemos que com isso, o raio é igual a 10cm (pois $r = \sqrt{100} = 10$)

Agora, vamos analisar a segunda área dada pelo problema, veja como ele diz que devemos aumentar o raio por um valor desconhecido, de modo que dê $144\pi$.

$\pi (r + x) = 144\pi$

O  $x$ é nosso valor desconhecido de soma do raio (chave da questão), podemos cortar o $\pi$  novamente, e ficaremos com um produto notável, lembrando que o quadrado da soma é o quadrado do primeiro + 2 vezes o primeiro pelo segundo + o segundo ao quadrado. E que $r = 10$

$10^2 + 2(10\cdot x) + x^2 = 144\\100 + 20x + x^2 = 144\\20x + x^2 = 44$

Nessa situação, caimos em uma equação de segundo grau, reposicionando ela na forma $ax^2 + bx + c = 0$, teremos

$x^2 + 20 - 44 = 0$

Descobrindo a discriminante $\Delta$, temos

$\Delta = (20)^2 - 4\cdot (1\times - 44)$

Com isso, temos que a discriminante é igual a 576. Jogando na fórmula de Bhaskara

$\displaystyle x = \frac{-(20)\pm \sqrt{576}}{2}$

A raíz de 576 é exata e é igual a 24, portanto temos dois valores possíveis pra $x$

$\displaystyle x = \frac{-20 - 24}{2} = -22$

ou

$\displaystyle x' = \frac{-20 + 24}{2} = 2$

Como uma resposta negativa nesse contexto não faz sentido, ficamos apenas com 2.