Question

03. Determine a equação da reta tangente à curva 5x2 + y2 = 5 e que passa pelo ponto (-2, -1).

Answer 1

Por que determina esses número aí se deu cinco no outro outro vai dar 20 porque eu estrelado são das A Duda é multiplicação se tu for entrar na lá da multiplicação 5 × 2 é igual a 32 entendeuOK está achando que é pra tu trocar os nomes por exemplos está 19 tipo assim cinco vezes 6h05 vezes quatro pet por troca 5 × 2 é igual a 10h05 vezes quatro da Vinci (5 × 2 a 20h05 vezes 4h10 vai trocar os dois número

Answer 2

Derivando ambos os lados da igualdade da curva em relação a $x$, ficamos com:

$\frac{d}{dx}(5x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(5)$

$\frac{d}{dx}(5x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=0$

$10x+2yy'=0$

$2yy'=-10x$

$y'=-\frac{5x}{y}$

O coeficiente angular da reta tangente deve ser igual à derivada da curva, logo:

$y'=\frac{y-(-1)}{x-(-2)}$

$-\frac{5x}{y}=\frac{y+1}{x+2}$

$y(y+1)=-5x(x+2)$

$y^2+y=-5x^2-10x$

$5x^2+y^2+y+10x=0$

O ponto de interseção entre a reta e a curva deve satisfazer à equação de ambas, logo podemos substituir $5x^2+y^2$  por 5 na equação acima, ficando com:

$5+y+10x=0$

$y=-10x-5$

Substituindo o valor acima na equação da curva:

$5x^2+(-10x-5)^2=5$

$5x^2+100x^2+100x+25=5$

$105x^2+100x+20=0$

$21x^2+20x+4=0$

$x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2-4\cdot21\cdot4}}{42}$

$x=\frac{-20\pm\sqrt{64}}{42}$

$x=\frac{-20\pm8}{42}$

$x=\frac{-10\pm4}{21}$

$x\in\{-2/7, -2/3\}$

Estas são as coordenadas em $x$ dos pontos de interseção das retas tangentes com a curva. Substituindo esses valores em $y=-10x-5$, achamos que as coordenadas em $y$ são $y\in\{-15/7,5/3\}$.

Dessa forma, não temos apenas uma, mas duas retas tangentes. Uma que passa por (-2, -1) e (-2/7, -15/7) e outra que passa por (-2, -1) e (-2/3, 5/3). No caso da primeira reta, ela possui como equação:

$\frac{-15/7-(-1)}{-2/7-(-2)}=\frac{y-(-1)}{x-(-2)}$

$\frac{-15/7+1}{-2/7+2}=\frac{y+1}{x+2}$

$\frac{-8/7}{12/7}=\frac{y+1}{x+2}$

$\frac{-8}{12}=\frac{y+1}{x+2}$

$\frac{-2}{3}=\frac{y+1}{x+2}$

$3(y+1)=-2(x+2)$

$3y+3=-2x-4$

$3y=-2x-7$

$y=\frac{-2x-7}{3}$

Vamos agora à equação da reta que passa por (-2, -1) e (-2/3, 5/3):

$\frac{5/3-(-1)}{-2/3-(-2)}=\frac{y-(-1)}{x-(-2)}$

$\frac{5/3+1}{-2/3+2}=\frac{y+1}{x+2}$

$\frac{8/3}{4/3}=\frac{y+1}{x+2}$

$\frac{8}{4}=\frac{y+1}{x+2}$

$2=\frac{y+1}{x+2}$

$y+1=2(x+2)$

$y+1=2x+4$

$y=2x+3$

Segue abaixo uma representação gráfica do problema.