Question

$\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$

Answer 1

Resposta:

9/10

Explicação passo-a-passo:

De uma forma geral, podemos reescrever da seguinte forma:

1/[(p + 1)√p + p√(p + 1)]

1/[(p + 1)√p + p√(p + 1)] . [(p + 1)√p - p√(p + 1)]/[(p + 1)√p - p√(p + 1)]

[(p + 1)√p - p√(p + 1)]/[p(p + 1)² - p²(p + 1)]

[(p + 1)√p - p√(p + 1)]/[p³ + 2p² + p - p³ - p²]

[(p + 1)√p - p√(p + 1)]/[p² + p]

[(p + 1)√p - p√(p + 1)]/p(p + 1)

√p/p - √(p + 1)/(p + 1)

√p/p . √p/√p - √(p + 1)/(p + 1) . √(p + 1)/√(p + 1)

p/p√p - (p + 1)/(p + 1)√(p + 1)

1/√p + 1/√(p + 1)

Então:

1/(2√1 + 1√2) + 1/(3√2 + 2√3) + 1/(4√3 + 3√4) + ... + 1/(100√99 + 99√100)

= 1/√1 - 1/√2 + 1/√2 - 1/√3 + 1/√3 - 1√4 + ... - 1/√100

= 1 - 1/√100

= 1 - 1/10

= (10 - 1)/10

= 9/10