Question

A posiçao de uma partıcula que se move ao logo de uma reta em funçao do tempo é dada pela equaçao f(t) = 1 − t ^2 /1 + t ^2 .
(a) Encontre a aceleraçao instantanea da partícula?
(b) Em que instante a partıcula está parada?

Answer 1

(a)

A função aceleração da partícula é dada pela derivada da função velocidade, que por sua vez é a derivada da função posição. Se $v(t)$ a função velocidade, temos que:

$v(t)=\frac{df}{dt}$

$v(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)$

Aplicando a regra do quociente:

$v(t)=\frac{\frac{d}{dx}(1-t^2)\cdot(1+t^2)-\frac{d}{dx}(1+t^2)\cdot(1-t^2)}{(1+t^2)^2}$

$v(t)=\frac{-2t\cdot(1+t^2)-2t\cdot(1-t^2)}{(1+t^2)^2}$

$v(t)=\frac{-2t(1+t^2+1-t^2)}{(1+t^2)^2}$

$v(t)=\frac{-4t}{(1+t^2)^2}$

Derivando agora a função velocidade, obteremos a função aceleração $a(t)$:

$a(t)=\frac{dv}{dt}$

$a(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{-4t}{(1+t^2)^2}\right)$

Aplicando novamente a regra do quociente:

$a(t)=\frac{\frac{d}{dx}(-4t)\cdot(1+t^2)^2-\frac{d}{dx}[(1+t^2)^2]\cdot(-4t)}{[(1+t^2)^2]^2}$

Aplicamos a regra da cadeia para calcular a derivada de $(1+t^2)^2$:

$a(t)=\frac{-4(1+t^2)^2-2(1+t^2)\cdot\frac{d}{dx}(1+t^2)\cdot(-4t)}{(1+t^2)^4}$

$a(t)=\frac{-4(1+t^2)^2-2(1+t^2)\cdot2t\cdot(-4t)}{(1+t^2)^4}$

$a(t)=\frac{-4(1+t^2)^2+16t^2(1+t^2)}{(1+t^2)^4}$

$a(t)=\frac{(1+t^2)[-4(1+t^2)+16t^2]}{(1+t^2)^4}$

$a(t)=\frac{-4(1+t^2)+16t^2}{(1+t^2)^3}$

$a(t)=\frac{-4-4t^2+16t^2}{(1+t^2)^3}$

$a(t)=\frac{12t^2-4}{(1+t^2)^3}$

b)

Este é o instante em que a velocidade é nula, ou seja:

$v(t)=0$

$\frac{-4t}{(1+t^2)^2}=0$

$-4t=0$

$t=0$