Question

Determine o número de pares de inteiros positivos (a, b) para os quais $a + b \leq 100$ e $\frac{a+\frac{1}{b}}{b+\frac{1}{a}}= 10.$

Answer 1

Resposta:

9 pares

Explicação passo-a-passo:

a + 1/b = 10b + 10/a tirando mmc (ab):

a²b + a -10ab² -10b = 0

a(ab + 1) -10b(ab + 1) = 0

(ab + 1) (a - 10b) = 0

ou

ab + 1 = 0

ab = -1 (sendo essa multiplicação -1, um dos dois teria que ser negativo, portanto não satisfaria a condição dos dois positivos

ou

a - 10b = 0

a = 10b

Partindo-se das possibilidades:

a = 10, b = 1 (a + b = 11)

a = 20, b = 2

a = 30, b = 3

até

a = 90, b = 9 (a+b = 99)

Então são 9 pares de solução ab

(10,1); (20,2); (30,3); (40,4); (50,5); (60,6); (70,7); (80,8); (90,9)

Answer 2

Resposta:

9 pares.

Explicação passo-a-passo:

Vamos desenvolver a 2º equação:

$a+\frac{1}{b}=10(b+\frac{1}{a})$

$a+\frac{1}{b}=10b+\frac{10}{a}$

Multiplicando ambos os lados da igualdade por $ab$:

$a^2b+a=10ab^2+10b$

$a^2b+a-10ab^2-10b=0$

$a^2b+(1-10b^2)a-10b=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara para $a$:

$a=\frac{-(1-10b^2)\pm\sqrt{(1-10b^2)^2-4\cdot b\cdot(-10b)}}{2b}$

$a=\frac{10b^2-1\pm\sqrt{(1-10b^2)^2+40b^2}}{2b}$

$a=\frac{10b^2-1\pm\sqrt{1-20b^2+100b^4+40b^2}}{2b}$

$a=\frac{10b^2-1\pm\sqrt{100b^4+20b^2+1}}{2b}$

$a=\frac{10b^2-1\pm\sqrt{(10b^2+1)^2}}{2b}$

$a=\frac{10b^2-1\pm|10b^2+1|}{2b}$

Como $10b^2+1$ é positivo para qualquer valor de $b$, podemos dizer que $|10b^2+1|=10b^2+1$, logo:

$a=\frac{10b^2-1\pm(10b^2+1)}{2b}$

Como $a$ é positivo, desconsideramos o resultado negativo $a=\frac{10b^2-1-(10b^2+1)}{2b}=-\frac{1}{b}$, achando assim que $a=\frac{10b^2-1+10b^2+1}{2b}=10b$. Basta agora Substituir $a$ na inequação:

$10b+b\leq 100$

$11b\leq 100$

$b\leq 9$

Concluindo assim que o conjunto solução é $S=\{(b,10\cdot b)\in \mathbb{Z}^2\;|\;0<b<10\}$, existindo assim 9 pares ordenados.