Question

5.b
x+y+z=3
x-y-z=5
-2x+3y+z=-13​

Answer 1

Temos o seguinte sistema linear:

$\begin{cases}x + y + z = 3 \\ x - y - z = 5 \\ - 2x + 3y + z = - 13 \end{cases}$

Para resolver esse sistema, vou usar o método da Eliminação de Gauss, que consiste em fazer várias operações elementares para deixar o sistema escalonado e de mais fácil resolução.

• Primeiro vamos nomear as linhas:

$\begin{cases}x + y + z = 3 \: \: \: L_1\\ x - y - z = 5 \: \: \:L_2\\ - 2x + 3y + z = - 13 \: \: \: L_3\end{cases}$

Agora vamos de fato começar os cálculos.

• Vamos fazer a permutação de umas linhas, ou seja, L1 ←→ L3 e L1 ←→ L2, isto é, primeiro a linha 1 troca a posição com a linha 3 e depois disso a linha 1 troca a posição com a linha 2. Fazendo isso, tem se:

$\begin{cases} - 2x + 3y + z = - 13 \\ x + y + z = 3 \\ x - y - z = 5\end{cases}$

• A linha 3 recebe a linha 3 somada com a linha 2, isto é, L3 ← L3 + L2. Fazendo o cálculo dessa nova linha 3:

$L_3 \leftarrow L_3 + L_2 \\ L_3\leftarrow x + x + y - y + z - z = 3 + 5 \\ L_3\leftarrow2x - 0 - 0 = 8 \\ L_3\leftarrow2x = 8$

Substituindo essa nova linha:

$\begin{cases} - 2x + 3y + z = - 13 \\ x + y + z = 3 \\ 2x = 8\end{cases}$

• Para cancelar o "z" da segunda equação, vamos fazer a linha 2 receber a linha 2 subtraida da linha 1, então:

$L_2 \leftarrow L_2 - L_1 \\ L_2 \leftarrow x + 2x + y - 3y + z - z = 3 + 13 \\ L_2\leftarrow3x - 2y + 0 = 16 \\ L_2\leftarrow3x - 2y = 16$

Substituindo a nova linha:

$\begin{cases} - 2x + 3y + z = - 13 \\ 3x - 2y= 16\\ 2x = 8\end{cases}$

Pronto, agora é só resolver essas equações:

$\begin{cases}2x = 8 \\ x = \frac{8}{2} \\ x = 4 \end{cases} \: \: \begin{cases} 3x - 2y = 16 \\ 12 - 2y = 16 \\ y = -2\end{cases} \: \: \begin{cases} - 2x + 3y + z = - 13 \\ - 8 -6 + z = 0 \\ z = 1 \end{cases}$ Portanto temos que a solução do sistema é:

$\boxed{S = \{ 4,-2,1 \}}$

Espero ter ajudado