Question

1. Prove que os pontos A (3,-1), B (3, 2) e C (3,5) estão alinhados.

2. Prove que os pontos A (0, 2), B (-3, 1) e C (4,5) não estão alinhados.

3. Determine o valor de m para que os pontos A (0, -3), B (-2m, 11) e C (-1, 10m) pertençam a uma mesma
reta.

4. Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A (4,3) e B (-2,5)​

Answer 1

Para responder a essas questões, devemos fazer uma breve revisão sobre matrizes, determinante, equação da reta. Irei explicar sobre cada assunto dentro de cada questão:

Questão 1:

É necessário provar que os pontos estão alinhados. Uma forma de provar isso é escrever os pontos na forma de uma matriz 3x3 e calcular o seu determinante. Caso o determinante seja igual a zero, podemos concluir que todos os pontos estão alinhados.

Para encontrar o determinante, vamos usar a Regra de Sarrus (consiste em repetir as duas primeiras colunas, e multiplicar diagonalmente os elementos). Veja:

$\begin{vmatrix}3&-1&1\\ 3&2&1\\3&5&1\end{vmatrix} \: \begin{vmatrix}3&-1\\ 3&2\\3&5\end{vmatrix}$

Primeiro calculamos as diagonais da esquerda para a direita, descendo:

$(3\times2\times1)+(-1\times1\times3)+(1\times3\times5)\\6 + (-3) + 15\\6 -3+15 = 18$

Agora faremos as diagonais da direita para a esquerda, descendo: $(-1\times3\times1)+(3\times1\times5)+(1\times2\times3)\\(-3)+15+6\\-3+15+6 = 18$

Para encontrar o determinante, devemos utilizar os valores que obtemos anteriormente e realizar a subtração entre eles:

$Det = (prim.\:valor) - (seg.\:valor)\\Det = 18 - 18\\\boxed{Det = 0}$

Observe que o determinante é igual a zero, então está provado que esses pontos estão alinhados.

Questão 2:

Para resolver essa questão devemos seguir o mesmo raciocínio da questão 1, a única diferença é que devemos provar que os pontos não estão alinhados. Para isso, o determinante deve ser diferente de zero.

$\begin{vmatrix}0&2&1\\ -3&1&1\\ 4&5&1\end{vmatrix} \: \begin{vmatrix}0&2\\ -3&1\\ 4&5\end{vmatrix}$

1º passo:

$(0\times 1\times 1)+(2\times 1\times 4)+(1\times -3\times 5)\\0+8+(-15)\\8 - 15 = -7$

2º passo:

$(2\times -3\times 1)+(0\times 1\times 5)+(1\times 1\times 4)\\(-6) + 0 +4\\-6 + 4 = -2$

3º passo:

$Det = (prim.\:valor) - (seg.\:valor)\\Det = (-7) - (-2)\\Det = -7 + 2\\\boxed{Det = -5}$

Perceba que o determinante é diferente de zero, então está provado que esses pontos não estão alinhados.

Questão 3:

Para que três pontos possam pertencer à mesma reta, devemos nos lembrar do assunto que foi trabalhado nos dois exercícios acima, ou seja, det = 0.

Nessa questão devemos realizar os mesmos passos, no final iremos obter uma equação. A partir dessa equação de incógnita m é que iremos ter a resposta dessa questão.

$\begin{vmatrix}0&-3&1\\ -2m&11&1\\ -1&10m&1\end{vmatrix}\:\begin{vmatrix}0&-3\\ -2m&11\\ -1&10m\end{vmatrix}$

1º passo:

$(0\times 11\times 1)+(-3\times 1\times -1)+(1\times -2m\times 10m)\\0 + 3 + (-20m^2)\\= \boxed{-20m^2+3}$

2º passo:

$(-3\times -2m\times 1)+(0\times 1\times 10m)+(1\times 11\times -1)\\6m+0+(-11)\\=\boxed{6m-11}$

3º passo:

$Det = (prim.\:valor) - (seg.\:valor)\\Det = (-20m^2+3) -(6m-11)\\Det = -20m^2+3 -6m +11\\Det = \boxed{-20m^2-6m+14}$

Para que esses pontos pertençam à mesma reta, o determinante precisa ser igual a zero, certo? Então basta igualar essa equação de 2º grau a zero e resolver.

$-20m^2 - 6m + 14 = 0\\\\\Delta = b^2-4\times a \times c\\\Delta = (-6)^2 -4 \times (-20) \times 14\\\Delta = 36 - (4\times -20 \times 14)\\\Delta = 36 + 1120\\\Delta = 1156$

$m = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\times a}\\\\m = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{1156}}{2\times -20}\\\\m = \dfrac{6 \pm 34}{-40}\\\\\\m' = \dfrac{6 + 34}{-40}\\\\m' = \dfrac{40}{-40}\\\\\\\boxed{m' = -1} \\\\\\m" = \dfrac{6 - 34}{-40}\\\\m"= \dfrac{-28}{-40}\\\\\\\boxed{m"= \dfrac{7}{10}}$

Logo, para que esses pontos pertençam a mesma reta, M = -1 ou M = 7/10.

Questão 4:

Para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B também podemos utilizar matrizes, mas irei explicar de outro modo.

Primeiro, devemos nos lembrar que os pontos são coordenadas do tipo A(x,y) e B(x,y).

Sabendo disso, vamos calcular o coeficiente angular (m) utilizando a fórmula:

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Substituindo pelos pontos, temos:

$m = \dfrac{5 - 3}{-2 - 4}\\\\ m = \dfrac{\:2}{-6}\\\\m = -\dfrac{1}{3}$

Agora que conhecemos o valor do coeficiente angular, podemos escolher um desses pontos (A ou B) e substituir na fórmula abaixo:

$y- y_{0}= m (x - x_{0})$

Vou substituir usando o ponto A (4,3):

$y- 3= -\dfrac{1}{3} (x - 4)$

Essa é a equação da reta.

Espero ter ajudado! Leia mais sobre esses assuntos em:

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Answer 2

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Dadas as coordenadas de três pontos $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$, podemos demonstrar se estes pontos estão alinhados (pertencem a uma mesma reta) ao calcularmos o determinante:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$.

O mesmo vale para calcularmos a equação de uma reta que passa por dois pontos $(x_4,~y_4)$ e $(x_5,~y_5)$. Considere um ponto genérico de coordenadas $(x,~y)$ pertencente a esta reta, sua equação será dada pelo determinante acima.

Então, resolvamos cada uma das alternativas:

a) Prove que os pontos $A~(3,\,-1),~B~(3,~2)$ e $C~(3,~5)$ estão alinhados.

Observe que todos os pontos apresentam em comum o mesmo valor da abscissa. Isto significa que há uma reta vertical que contém todos os pontos. Porém, substituindo as coordenadas destes pontos no determinante, teremos:

$\begin{vmatrix}3&-1&1\\3&2&1\\3&5&1\\\end{vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a propriedade em que o determinante de uma matriz cujas filas são proporcionais, isto é, uma fila é resultado da soma de uma fila com o produto dela por uma constante é igual a zero.

Assim, determina-se que os pontos estão alinhados.

b) Prove que os pontos $A~(0,~2),~B~(-3,~1)$ e $C~(4,~5)$ não estão alinhados.

Substituindo as coordenadas destes pontos no determinante, temos:

$\begin{vmatrix}0&2&1\\-3&1&1\\4&5&1\\\end{vmatrix}$

Para calcularmos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, teremos:

$\begin{vmatrix}0&2&1\\-3&1&1\\4&5&1\\\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}0&2\\-3&1\\4&5\end{matrix}\right|$

Aplique a regra e calcule o determinante

$0\cdot1\cdot1+2\cdot1\cdot4+1\cdot(-3)\cdot5-(2\cdot(-3)\cdot1+0\cdot1\cdot5+1\cdot1\cdot4)\\\\\\ 8-15-(-6+4)\\\\\\ -7+2=-5$

Visto que o determinante é diferente de zero, os pontos não estão alinhados.

c) Determine o valor de $m$ para que os pontos $A~(0,\,-3),~B~(-2m,~11)$ e $C~(-1,~10m)$ pertençam à mesma reta.

Substituindo as coordenadas dos pontos no determinante, temos:

$\begin{vmatrix}0&-3&1\\-2m&11&1\\-1&10m&1\\\end{vmatrix}=0$

Aplique a regra de Sarrus e calcule o determinante

$0\cdot11\cdot1+(-3)\cdot1\cdot(-1)+1\cdot(-2m)\cdot 10m-((-3)\cdot(-2m)\cdot1+0\cdot1\cdot10m+1\cdot11\cdot(-1))=0\\\\\\ 3-20m^2-(6m-11)=0\\\\\\ -20m^2-6m+14=0$

Utilizando a fórmula resolutiva para equações quadráticas, temos

$m=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot(-20)\cdot(14)}}{2\cdot(-20)}\\\\\\ m =\dfrac{6\pm\sqrt{1156}}{-40}\\\\\ m =\dfrac{6\pm34}{-40}$

Separando as soluções, temos

$m_1=\dfrac{6-34}{-40}={-28}{-40}=\dfrac{7}{10}~~\bold{ou}~~m_2=\dfrac{6+34}{-40}=\dfrac{40}{-40}=-1$

Estes são os valores de $m$ que tornam estes pontos alinhados.

d) Escreva a equação da reta que passa pelos pontos $A~(4,~3)$ e $B~(-2,~5)$.

Considerando um ponto genérico $(x,~y)$ pertencente a reta e substituindo as coordenadas dos pontos no determinante, temos:

$\begin{vmatrix}4&3&1\\-2&5&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Aplique a regra de Sarrus e calcule o determinante

$4\cdot5\cdot1+3\cdot1\cdot x+1\cdot(-2)\cdot y-(3\cdot(-2)\cdot1+4\cdot1\cdot y + 1\cdot 5\cdot x)=0\\\\\\ 20+3x-2y-(-6+4y+5x)=0\\\\\\ -6y-2x+26=0$

Esta é a equacão da reta que contém estes pontos.