Question

Sendo ~a ⊥ ~b, |~a| = 6 e |

~b| = 8, calcular |~a +~b| e |~a −~b|.


alguém pode ajudar?​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para qualquer vetor $v$, temos que $\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2$ ($\left \langle u,v \right \rangle$ representa o produto escalar entre os vetores $u$ e $v$). Temos então que:

$\left \langle a+b,a+b \right \rangle=\left \| a+b \right \|^2$

$\left \| a+b \right \|^2=\left \langle a,a \right \rangle+\left \langle a,b \right \rangle+\left \langle b,a \right \rangle+\left \langle b,b \right \rangle$

$\left \| a+b \right \|^2=\left \| a \right \|^2+2\left \langle a,b \right \rangle+\left \| b \right \|^2$

Pelo fato dos vetores serem ortogonais, $\left \langle a,b \right \rangle=0$. Substituindo:

$\left \| a+b \right \|^2=\left \| a \right \|^2+2\cdot0+\left \| b \right \|^2$

$\left \| a+b \right \|^2=\left \| a \right \|^2+\left \| b \right \|^2$

$\left \| a+b \right \|^2=6^2+8^2$

$\left \| a+b \right \|^2=100$

$\left \| a+b \right \|=10$

No caso de $\left \| a-b \right \|$, temos que:

$\left \langle a-b,a-b \right \rangle=\left \| a-b \right \|^2$

$\left \| a-b \right \|^2=\left \langle a,a \right \rangle+\left \langle a,-b \right \rangle+\left \langle -b,a \right \rangle+\left \langle -b,-b \right \rangle$

$\left \| a-b \right \|^2=\left \langle a,a \right \rangle-\left \langle a,b \right \rangle-\left \langle b,a \right \rangle+\left \langle b,b \right \rangle$

$\left \| a-b \right \|^2=\left \langle a,a \right \rangle-2\left \langle a,b \right \rangle+\left \langle b,b \right \rangle$

$\left \| a-b \right \|^2=\left \| a \right \|^2-2\left \langle a,b \right \rangle+\left \| b \right \|^2$

$\left \| a-b \right \|^2=\left \| a \right \|^2-2\cdot0+\left \| b \right \|^2$

$\left \| a-b \right \|^2=\left \| a \right \|^2+\left \| b \right \|^2=100$

$\left \| a-b \right \|=10$