Question

INTEGRAL - Calcular a área entre as curvas, nos intervalos indicados:
1) Y1 = X2 intervalo x=1 e x=2
Y2 = 1 + X




2) Y1 = X3 – 1 intervalo x=2 e x=0
Y2 = 4

Answer 1

1)

Para $x=1$, temos que $y_1=1^2=1$ enquanto $y_2=1+1=2$. No caso de $x=2$, $y_1=2^2=4$ e $y_2=1+2=3$. Perceba que em algum momento no intervalo a função $y_1$ se torna maior que $y_2$. Para saber esse, ponto vamos igualar as funções:

$x^2=1+x$

$x^2-x-1=0$

$x=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot(-1)}}{2}$

$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

Como $1<x<2$, desconsideramos o resultado negativo, ficando com $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. De 1 até esse valor, a função $y_2$ enquanto desse valor até 2 o valor de $y_1$ é maior. Temos então que a área entre as curvas nesse intervalo é:

$A=\int_1^{(1+\sqrt{5})/2}y_2-y_1\;dx+\int_{(1+\sqrt{5})/2}^2y_1-y_2\;dx$

$A=\int_1^{(1+\sqrt{5})/2}1+x-x^2\;dx+\int_{(1+\sqrt{5})/2}^2x^2-(1+x)\;dx$

$A=\int_1^{(1+\sqrt{5})/2}-x^2+x+1\;dx+\int_{(1+\sqrt{5})/2}^2x^2-x-1\;dx$

$A=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right]_1^{(1+\sqrt{5})/2}+\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x\right]_{(1+\sqrt{5})/2}^2$

Considerando $(1+\sqrt{5})/2=z$:

$A=-\frac{z^3}{3}+\frac{z^2}{2}+z+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1+\frac{8}{3}-2-2-\frac{z^3}{3}+\frac{z^2}{2}+z$

$A=z^2+2z-\frac{2z^3}{3}-\frac{5}{2}$

$A=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2+1+\sqrt{5}-\frac{2}{3}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3-\frac{5}{2}$

$A=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2+\sqrt{5}-\frac{2}{3}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3-\frac{3}{2}\;\text{u.a}$

2)

Para $x=0$, temos que $y_1=0^3-1=-1$ enquanto para $x=2$, $y_1=2^3-1=7$. Perceba que em algum momento no intervalo a função $y_1$ se torna maior que $y_2$. Para saber esse, ponto vamos igualar as funções:

$y_1=y_2$

$x^3-1=4$

$x^3=5$

$x=\sqrt[3]{5}$

De 0 até $\sqrt[3]{5}$, a função $y_2$ enquanto de $\sqrt[3]{5}$ valor até 2 o valor de $y_1$ é maior. Temos então que a área entre as curvas nesse intervalo é:

$A=\int_0^{\sqrt[3]{5}}y_2-y_1\;dx+\int_{\sqrt[3]{5}}^{2}y_1-y_2\;dx$

$A=\int_0^{\sqrt[3]{5}}4-(x^3-1)\;dx+\int_{\sqrt[3]{5}}^{2}x^3-1-4\;dx$

$A=\int_0^{\sqrt[3]{5}}-x^3+5\;dx+\int_{\sqrt[3]{5}}^{2}x^3-5\;dx$

$A=\left[-\frac{x^4}{4}+5x\right]_0^{\sqrt[3]{5}}+\left[\frac{x^4}{4}-5x\right]_{\sqrt[3]{5}}^2$

$A=-\frac{(\sqrt[3]{5})^4}{4}+5\sqrt[3]{5}+4-10-\frac{(\sqrt[3]{5})^4}{4}+5\sqrt[3]{5}$

$A=10\sqrt[3]{5}-\frac{(\sqrt[3]{5})^4}{2}-6\;\text{u.a}$