Question

Sejam a, b, c, d quatro algarismos distintos e diferentes de 0. Forme todos os números com três algarismos distintos tomados dentre a, b, c, d. Mostre que a soma destes números é um múltiplo de 111. POR FAVOR, É URGENTE!

Answer 1

Olá, Accacio Tulo.

 

Os possíveis números formados pela combinação de três algarismos distintos dentre os escolhidos no conjunto {a,b,c,d} são, em ordem alfabética:

 

$<var>\text{6 possibilidades}\begin{cases}a\ b\ c\\ a\ b\ d\\ \vdots\\ a\ d\ c\\ \end{cases}\\ \text{6 possibilidades}\begin{cases}b\ a\ c\\ b\ a\ d\\ \vdots\\ b\ d\ c\\ \end{cases}\\ \vdots\\ \text{6 possibilidades}\begin{cases}d\ a\ b\\ d\ a\ c\\ \vdots\\ d\ c\ b\\ \end{cases}\\</var>$

 

Podemos verificar no demonstrativo acima que o algarismo  $a$  aparece 6 vezes na coluna das unidades, 6 vezes na coluna das dezenas e 6 vezes na coluna das centenas. O mesmo acontece com os algarismos  $b, c, d$, os quais também aparecem 6 vezes nas colunas das unidades, das dezenas e das centenas.

 

Somando, portanto, todos estes números construídos na forma demonstrada obteremos o seguinte resultado:

 

$<var>\text{Soma = }\underbrace{100\times(6a+6b+6c+6d)}_{centenas} +\underbrace{10\times(6a+6b+6c+6d)}_{dezenas}+\\\\+\underbrace{1\times(6a+6b+6c+6d)}_{unidades}=\\\\ =600(a+b+c+d)+60(a+b+c+d)+6(a+b+c+d)=\\\\ =666(a+b+c+d)=\\\\ =111 \times6(a+b+c+d)</var>$

 

Fica demonstrado, portanto, que a soma destes números é um múltiplo de 111.

Answer 2

OLÁ ACCACIO!!!

 

COMO SÃO 4 ALGARISMOS ( A,B,C,D) , E TEMOS QUE FORMAR NÚMEROS DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS

 

TEMOS 4.3.2  DE POSSIBILIDADES OU SEJA APENAS 24 NÚMEROS.

 

COMO SÃO POUCOS VOU FAZER TODOS E SOMA-LOS

 

ABC

ABD

ACB

ACD

ADB

ADC

 

BAC

BAD

BCA

BCD

BDA

BDC

 

CAB

CAD

CBA

CBD

CDA

CDB

 

DAB

DAC

DBA

DBC

DCA

DCB

 

 

DEVEMOS PERCEBER QUE EM CADA COLUNA TEMOS 6 LETRAS DE CADA.

 

ASSIM:     NA COLUNA DAS UNIDADES TEREMOS 6A+6B+6C+6D = 6(A+B+C+D)

 

NA COLUNA DAS DEZENAS : 6.10A+6.10B+6.10C+6.10D = 60.(A+B+C+D)

 

NA COLUNA DAS CENTENAS: 6.100A+6.100B+6.100C+6.100D = 600.(A+B+C+D)

 

Ao somarmos tudo :

 

600.(A+B+C+D)+60(A+B+C+D)+ 6.(A+B+C+D)

 

colocaremos (A+B+C+D) EM EVIDÊNCIA

 

(A+B+C+D)[ 600+60+6]  = (A+B+C+D).666

 

QUE PODEMOS ESCREVER COMO  111. 6((A+B+C+D)  LOGO É MÚLTIPLO DE 111.

 

ESPERO TER AJUDADO