Question

Questao 1-
Determine a equa¸cão da reta tangente ao gráfico de:

a)(1 pt) f(x) = cos(2x) + e^x² em x0 = 1;

b)(1 pt) f(x) = tan(x) + sen(x) − e(x− π/4) em x0 = π/4.

preciso de ajuda urgente​

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$a) f(x) = \cos(2x) + e^{x {}^{2}} \: \: em \: \: x_ 0 = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ b)f(x) = \tan(x) + \sin(x) − e ^{(x− π/4) }\: \: em \: \: x_0 = \frac{\pi}{4} \: \: \: \:$

Para encontrar a reta tangente a uma curva qualquer, podemos seguir uma espécie de roteiro que é dado por:

$1) \: Derivada \: da \: func \tilde{a}o \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2) \: Substituic \tilde{a}o \: do \: valor \: de \: x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 3) \: Montagem \: atrav \acute{e}s \: de \: y - y_0 = m.(x - x_0)$

Seguindo esse roteiro, vamos primeiro então encontrar a derivada dessas duas funções.

• Derivada das funções:

$\boxed{a) \: f(x) = \cos(2x) + e {}^{x {}^{2} }} \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \cos(2x) + \frac{d}{dx} e {}^{x {}^{2} } \\ \red{\frac{df(x)}{dx} = - 2. \sin(2x) + e {}^{x {}^{2} } .2x} \\ \\ \boxed{b) \tan(x) + \sin(x) - e {}^{x - \frac{\pi}{4} } } \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \tan(x) + \frac{d}{dx} \sin(x) - \frac{d}{dx} e {}^{ x - \frac{\pi}{4} } \\ \red{ \frac{df(x)}{dx} = \sec {}^{2} x + \cos(x) - e {}^{x - \frac{\pi}{4} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pronto, agora vamos passar para o próximo passo que é substituir o valor de "x" na derivada.

• Substituição do valor de x:

$a) \: \frac{df(x)}{dx} = - 2. \sin(2x) + e {}^{x {}^{2} } .(2x) \: \: para \: \: x = 1 \\ \frac{df(1)}{dx} = - 2. \sin(2.1) + e {}^{1 {}^{2} } .(2.1) \\ \frac{df(1)}{dx} = - 2 \sin(2) +2 e \\ \\ b) \: \frac{df(x)}{dx} = \sec {}^{2} (x )+ \cos(x) - e {}^{x - \frac{\pi}{4} } \: \: para \:x = \frac{\pi}{4} \\ \frac{df( \frac{\pi}{4} )}{dx} = \sec {}^{2} \left( \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) - e {}^{ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} } \\ \frac{df( \frac{\pi}{4} )}{dx} = 2 + \frac{ \sqrt{2} }{2} - 1 \\ \frac{df( \frac{\pi}{4} )}{dx} = \frac{2 - \sqrt{2} }{2}$

Como sabemos, a derivada é justamente o coeficiente angular da reta tangente, ou seja, ela é equivale ao "m" que acompanha o "x" da reta, partindo dessa ideia, podemos dizer que:

$\frac{df(1)}{dx} = m = - 2 \sin(2) + 2e \\ \\ \frac{df( \frac{\pi}{4}) }{dx} = m = \frac{2- \sqrt{2} }{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar vamos montar a equação da reta tangente. Observe que para montarmos a equação da reta tangente, faz-se necessário encontrarmos o valor de y, para isso basta substituirmos o valor de "x" na função inicial e encontrar o "y" recíproco.

$a) \: f(1) = \cos(2.1) + e {}^{1 {}^{2} } \\ f(1) = \cos(2) + e \\ \\ b) f(x)= \tan(x) + \sin(x) - e {}^{x - \frac{\pi}{4} } \: \: \: \: \: \: \: \\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \tan\left( \frac{\pi}{4} \right) + \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) - e {}^{ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} } \\ f\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 + \frac{ \sqrt{2} }{2} - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor de x, y e m na equação fundamental da reta, temos:

$a) \: y - y_{0} = m.( x - x_{0}) \\ y - ( \cos(2) + e) = ( - 2 \sin(2) + 2e).(x - 1) \\ \\ b) \: y - y_{0} = m.( x - x_{0}) \\ y - \frac{ \sqrt{2} }{2} = \left(\frac{2 - \sqrt{2} }{2} \right). \left(x - \frac{\pi}{4} \: \right)$

Não vou desenvolver o cálculo, pois ficaria uma coisa bem poluída.

Espero ter ajudado