Question

fatore e simplifique, o quanto possível, a expressão 6x^3+18x^2-24x-72/9x^2+9x-54

Answer 1

Utilizando de diversas tecnicas de fatoração depolinomios, divisão de polinomios e evidenciação, temos que nossa expressão simplificada é dada por (2x+4)/3.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte expressão que queremos simplificar por fatoração algebrica:

$\frac{6x^3+18x^2-24x-72}{9x^2+9x-54}$

Primeiramente vamos colocar em evidência os valores mais obvios que são os númericos, dividindo todos os termos do numerador por 6 e todos os termos do denominador por 9, colocando estes mesmos números em evidência:

$\frac{6(x^3+3x^2-4x-12)}{9(x^2+x-6)}$

Agora podemos simplificar a equação de segundo grau de baixo encontrando suas raízes por meio de Bhaskara:

$x^2+x-6$

$a=1, b=1, c=-6$

$\Delta =b^2-4.a.c=(1)^2-4.a.(-6)=1+24=25$

$x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2.a}=\frac{-1 \pm 5}{2}$

$x_1=-3, x_2=2}$

Assim tendo as raízes, podemos simplificar esta equação da forma:

$x^2+b.x+c = (x-x_1)(x-x_2) \righarrow x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$

E substituindo esta forma fatorada no nosso termo inicial ficamos com:

$\frac{6(x^3+3x^2-4x-12)}{9(x^2+x-6)} \rightarrow \frac{6(x^3+3x^2-4x-12)}{9(x+3)(x-2)}$

Agora precisamos simplificar também a equaçã ode terceiro grau no numerador e para isso precisamos chutar umas das três raízes da equação de terceiro grau. E uma delas é x = 2, pois se substituirmos 2, a equação fica 0, note:

$x^3+3x^2-4x-12$

$2^3+3.2^2-4.2-12$

$8+12-8-12=0$

Assim sabemos que uma das raízes dela é x = 2, que de forma algebrica é expressada por (x-2), assim podemos dividir esta equação de terceiro grau por (x-2) e retirarmos esta raíz dela e desta forma esta equação ficará com somente dois graus o que é possível de se resolver com Bhaskara. Assim fazendo a divisão de polinomios:

$x^3+3x^2-4x-12   |  x - 2 = x^2+5x+6$

OBS: Note que não executei os passos, pois divisão de polinomio exige muitas etapas que são anteriores a este conteúdo, se você não souber como faz divisão de polinomios recomendo que revise esta materia essencial para este conteúdo.

Assim com esta divisão sabemos que:

$x^3+3x^2-4x-12= (x - 2)(x^2+5x+6)$

E podemos substituir esta nova forma fatorada em nossa fração:

$\frac{6(x - 2)(x^2+5x+6)}{9(x+3)(x-2)}$

Então agora vamos novamente fatorar a equação de segundo grau em cima por Bhaskara:

$x^2+5x+6$

$a=1, b=5, c=6$

$\Delta =b^2-4.a.c=(5)^2-4.1.6=25-24=1$

$x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2.a}=\frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1=-3, x_2=-2}$

O que no leva a forma fatorada de:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)$

E substituindo esta forma na nossa fração:

$\frac{6(x - 2)(x+3)(x+2)}{9(x+3)(x-2)}$

Agora basta eliminarmos todos os termos em cima que foram iguais aos de baixo, e inclusive simplificando 6 com 9, pois ambos podem ser dividios por 3:

$\frac{2(x+2)}{3}$

E assim temos que nossa expressão simplificada é dada por (2x+4)/3.