Question

Tomando f(x) = senx;
a)Dx(f^-1(x))

Answer 1

$f(x)=\mathrm{sen\,}x\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{d}{dx}[f(x)]=\cos x$


A composição de $f$ com a sua inversa é igual à função identidade:

$(f \circ f^{-1})(x)=x\\ \\ f(f^{-1}(x))=x\\ \\ \mathrm{sen\,}[f^{-1}(x)]=x$


Derivando os dois lados em relação a $x,$ e aplicando a Regra da Cadeia, temos

$\dfrac{d}{dx}\left[\mathrm{sen\,}[f^{-1}(x)] \right ]=\dfrac{d}{dx}(x)\\ \\ \\ \cos\,[f^{-1}(x)]\cdot \dfrac{d}{dx}[f^{-1}(x)]=1\\ \\ \\ \dfrac{d}{dx}[f^{-1}(x)]=\dfrac{1}{\cos\,[f^{-1}(x)]}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


A função seno é invertível quando restringimos adequadamente o seu domínio ao intervalo $[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}].$ Então, pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos que

$\cos^{2}\,[f^{-1}(x)]+\mathrm{sen^{2}\,}[f^{-1}(x)]=1\\ \\ \cos^{2}\,[f^{-1}(x)]+x^{2}=1\\ \\ \cos^{2}\,[f^{-1}(x)]=1-x^{2}\\ \\ \cos\,[f^{-1}(x)]=\pm \sqrt{1-x^{2}}$


Para valores de $f^{-1}(x)$ no intervalo do domínio do seno, que é $[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}],$ temos que

$\cos\,[f^{-1}(x)]\geq 0$


Então, podemos desprezar o sinal negativo, chegando a

$\cos\,[f^{-1}(x)]=\sqrt{1-x^{2}}$


Substituindo em $\mathbf{(i)}$ a expressão acima, temos

$\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{d}{dx}[f^{-1}(x)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \end{array}}$


Obs.: A função inversa $f^{-1}$ é conhecida como a função arco-seno:

$f^{-1}(x)=\mathrm{arcsen\,}(x)$


Esta função recebe um número real $x,$

$-1\leq x \leq 1$

e retorna um arco $\theta$ dentro do intervalo $[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}],$ tal que

$\mathrm{sen\,}{\theta}=x$