Question

Escolheu-se ao acaso 2 números naturais distintos de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos números escolhisod seja impar?

Answer 1

O nosso espaço amostral é o conjunto

$\{1,\,2,\,3,\,\ldots,\,19,\,20\}$

e nesse conjunto, temos

$10$ números pares, e

$10$ números ímpares.


Para que o produto seja ímpar, os dois números escolhidos devem ser ímpares.

A probabilidade de o primeiro número ser ímpar é

$\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$


Após escolhermos o primeiro número, e este sendo ímpar, o nosso espaço amostral perde uma possibilidade de escolha (pois queremos escolher números distintos). Neste novo cenário, temos $10-1=9$ números ímpares entre
$20-1=19$ opções disponíveis.

Então, a probabilidade de o segundo número ser ímpar, dado que o primeiro é ímpar, é

$\dfrac{10-1}{20-1}=\dfrac{9}{19}$


Portanto, a probabilidade de os dois números serem ímpares (distintos) é

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{19}\\ \\ \\ =\dfrac{9}{38}\\ \\ \cong 23,7\%\;\;\;\rightarrow\;\;\text{(esta \'{e} a probabilidade procurada).}$