Question

Determine três números positivos cujas soma é 12 e cuja soma dos quadrados é máxima.

Answer 1

Utilizando a tecnica de otimização de funções de multiplicadores de Lagrange, temos que este valor maximo é dado pelos números 4, 4 e 4.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que a questão nos da uma restrição:

$g(x,y,z) = x+y+z = 12$

E também uma função queremos maximizar:

$f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$

Este é um caso de multiplicadores de Lagrange, que nos diz que: Se houver um ponto maximo  $P = (x_1,x_2,x_3)$ dentro desta restrição, então ele deve obedecer a seguinte propriedade:

$\nabla f(x_1,y_1,z_1)=\lambda \nabla g(x_1,y_1,z_1)$

Onde $\nabla$ simboliza o operador gradiente.

Neste caso vamos fazer o gradiente de nossas funções:

$\nabla f(x_1,y_1,z_1)$:

$\frac{d}{dx}f(x_1,y_1,z_1)= 2x_1$

$\frac{d}{dy}f(x_1,y_1,z_1)= 2y_1$

$\frac{d}{dz}f(x_1,y_1,z_1)= 2z_1$

$\nabla g(x_1,y_1,z_1)$:

$\frac{d}{dx}g(x_1,y_1,z_1)= 1$

$\frac{d}{dy}g(x_1,y_1,z_1)= 1$

$\frac{d}{dz}g(x_1,y_1,z_1)= 1$

Com isso nossos multiplicadores de Lagrange ficam:

$2x_1 = \lambda . 1$

$2y_1 = \lambda . 1$

$2z_1 = \lambda . 1$

Somando estas equações, temos que:

$2x_1 + 2y_1 + 2z_1= 3\lambda$

Dividindo os dois lados por 2:

$x_1 + y_1 + z_1= \frac{3}{2}\lambda$

E como sabemos que a soma destes três números é 12, então:

$x_1 + y_1 + z_1= \frac{3}{2}\lambda$

$12= \frac{3}{2}\lambda$

$\frac{2.12}{3}=\lambda$

$8=\lambda$

Assim, sabendo o valor do multiplicador, podemos subtitui-lo de volta nas equações de Lagrange e encontrar os valores maximos:

$2x_1 = 8$

$2y_1 = 8$

$2z_1 = 8$

Que simplificando fica:

$x_1 = 4$

$y_1 = 4$

$z_1 = 4$

Assim temos que este valor maximo é dado pelos números 4, 4 e 4.