Question

"3. Dados três pontos A(1,-5,8), B(5,2,4) e C(3,9,1), ache três pontos diferentes tais que cada um deles forma com A,B,C um paralelogramo." nos resultados

Answer 1

Como os lados do paralelogramo são paralelos, então os vetores que ligam dois pontos do paralelogramo devem ser iguais.

Seja $D$ o quarto ponto que queremos encaixar. Temos várias formas para encaixar o ponto $D(x_{_{D}};\,y_{_{D}};\,z_{_{D}}),$ de forma que $ABCD$ seja um paralelogramo:

(Lembre-se de que o vetor é a diferença entre dois pontos)


$\bullet\;\;$ Forma 1: $\overset{\to}{AB}=\overset{\to}{CD}:$

$\overset{\to}{AB}=\overset{\to}{CD}\\ \\ B-A=D-C\\ \\ (5;\,2;\,4)-(1;\,-5;\,8)=(x_{_{D}};\,y_{_{D}};\,z_{_{D}})-(3;\,9;\,1)\\ \\ (5-1;\,2+5;\,4-8)=(x_{_{D}}-3;\,y_{_{D}}-9;\,z_{_{D}}-1)\\ \\ (4;\,7;\,-4)=(x_{_{D}}-3;\,y_{_{D}}-9;\,z_{_{D}}-1)\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{rcl} 4=x_{_{D}}-3&\;\;\Rightarrow\;\;&x_{_{D}}=7\\ 7=y_{_{D}}-9&\;\;\Rightarrow\;\;&y_{_{D}}=16\\ -4=z_{_{D}}-1&\;\;\Rightarrow\;\;&z_{_{D}}=-3 \end{array} \right.$


O ponto $D$ é o ponto $(7;\,16;\,-3).$


$\bullet\;\;$ Forma 2: $\overset{\to}{AB}=\overset{\to}{DC}:$

$\overset{\to}{AB}=\overset{\to}{DC}\\ \\ B-A=C-D\\ \\ (5;\,2;\,4)-(1;\,-5;\,8)=(3;\,9;\,1)-(x_{_{D}};\,y_{_{D}};\,z_{_{D}})\\ \\ (4;\,7;\,-4)=(3-x_{_{D}};\,9-y_{_{D}};\,1-z_{_{D}})\\ \\ \\ \left\{\begin{array}{rcl} 4=3-x_{_{D}}&\Rightarrow&x_{_{D}}=-1\\ 7=9-y_{_{D}}&\Rightarrow&y_{_{D}}=2\\ -4=1-z_{_{D}}&\Rightarrow&z_{_{D}}=5 \end{array}\right.$


O ponto $D$ é o ponto $(-1;\,2;\,5).$


$\bullet\;\;$ Forma 3: $\overset{\to}{AC}=\overset{\to}{BD}:$

$\overset{\to}{AC}=\overset{\to}{DB}\\ \\ C-A=B-D\\ \\ (3;\,9;\,1)-(1;\,-5;\,8)=(5;\,2;\,4)-(x_{_{D}};\,y_{_{D}};\,z_{_{D}})\\ \\ (2;\,14;\,-7)=(5-x_{_{D}};\,2-y_{_{D}};\,4-z_{_{D}})\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{rcl} 2=5-x_{_{D}}&\;\;\Rightarrow\;\;&x_{_{D}}=3\\ 14=2-y_{_{D}}&\;\;\Rightarrow\;\;&y_{_{D}}=-12\\ -7=4-z_{_{D}}&\;\;\Rightarrow\;\;&z_{_{D}}=11 \end{array} \right.$


O ponto $D$ é o ponto $(3;\,-12;\,11).$