2) Resolva as equações usando as propriedades
operatórias:
a)log 4 X + log 4 ( X+3)= 1
b)log (x-3) +log x = 1

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

Vamos encontrar a solução das equações logarítmicas, mas antes confira a definição de logaritmo:

logₐ (b) = c ⇔ aᶜ = b

Agora veja umas das propriedades usadas aqui:

logₐ (b) + logₐ (c) ⇔ logₐ (b.c)
logₐ (a) ⇔ 1
logₐ (1) ⇔ 0

Letra A)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:4}~(x)+log_{\:4}~(x+3)=1\\\\\sf log_{\:4}~(x\cdot (x+3))=1\\\\\sf log_{\:4}~(x^2+3x)=1\\\\\sf x^2+3x=4^1\\\\\sf x^2+3x-4=0\end{array}$

Surgiu uma equação do 2º grau. Resolvendo por fatoração:

$\begin{array}{l}\sf x^2-x+4x-4=0\\\\\sf x(x-1)+4(x-1)=0\\\\\sf (x+4)\cdot(x-1)=0\\\\\begin{cases}\sf x+4=0\\\\\sf x-1=0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x'=-4\\\\\sf x''=1\end{cases}\\\\\end{array}$

Encontrado as raízes, é importante verificar se são verdadeiras:

Para x = – 4:

$\begin{array}{l}\sf log_{\:4}~(4)+log_{\:4}~(4+3)=1\\\\\sf 1+log_{\:4}~(7)=1~~\to~~FALSA\\\\\end{array}$

Para x = 1:

$\begin{array}{l}\sf log_{\:4}~(1)+log_{\:4}~(1+3)=1\\\\\sf 0+log_{\:4}~(4)=1\\\\\sf 1=1~~\to~~VERDADEIRA\\\\\end{array}$

Portanto o conjunto solução para esta equação logarítmica é

$\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\quad\sf S=\Big\{~1~\Big\}\quad\\\\\end{array}}}}$

$~~$

Letra B)

Obs.: nesta equação, a base não aparece. Então nesse caso assumimos ser o 10.

$\begin{array}{l}\sf log~(x-3)+log~(x)=1\\\\\sf log~((x-3)\cdot x))=1\\\\\sf log~(x^2-3x)=1\\\\\sf x^2-3x=10^1\\\\\sf x^2-3x-10=0\end{array}$

Surgiu uma equação do 2º grau. Resolvendo por fatoração:

$\begin{array}{l}\sf x^2+2x-5x-10=0\\\\\sf x(x+2)-5(x+2)=0\\\\\sf (x+2)\cdot(x-5)=0\\\\\begin{cases}\sf x+2=0\\\\\sf x-5=0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x'=-2\\\\\sf x''=5\end{cases}\\\\\end{array}$

Encontrado as raízes, é importante verificar se são verdadeiras:

Para x = – 2:

$\begin{array}{l}\sf log~(-2-3)+log~(-2)=1\\\\\sf log~(-5)+log~(-2)=1~~\to~~FALSA\end{array}$

É sabido que o logaritmando deve ser postivo: logₐ (b) ⇒ b > 0

E como vemos na verificação, o logaritmando de ambos é negativo (–5 e –2). Por isso é falsa.

$~~$

Para x = 5:

$\begin{array}{l}\sf log~(5-3)+log~(5)=1\\\\\sf log~(2)+log~(5)=1\\\\\sf log~(2\cdot5)=1\\\\\sf log~(10)=1\\\\\sf 1=1~~\to~~VERDADEIRA\\\\\end{array}$