Question

26 Considere, num referencial ortonormado do
espaço, os pontos:
A(1,-1, 2) e B(-2, 2, -4)
26.1. Mostre que o plano mediador de [AB] E
definido pela condição:
x-y+22+3=0
26.2. Determine kER sabendo que o ponto
P(k-1, 2k, k) é equidistante de A e B.
26.3. Determine a interseção do plano mediador
de [AB] com:
a) a reta definida por x=1 A z=0;
b) o eixo Ox.
HELPPPPPPPPPPPPPPP

Answer 1

26.1.

O plano mediador de um segmento [AB] é tal que ele é ortogonal ao segmento e o intercepta no seu ponto médio. O vetor diretor desse segmento é $\vec{AB}=B-A=(-3,3,-6)$ enquanto o ponto médio do segmento é $M=\left(\frac{-2+1}{2},\frac{2+(-1)}{2},\frac{-4+2}{2}\right)=\left(\frac{-1}{2},\frac{1}{2},-1\right)$

Temos então em mãos um vetor ortogonal e um ponto pertencente ao plano. Com isso já podemos definir a sua equação. Sendo $P=(x,y,z)$ um ponto qualquer do plano, o vetor $\vec{PM}=\left(x+\frac{1}{2},y-\frac{1}{2},z+1\right)$ pertence ao plano, ou seja, ele é ortogonal ao vetor $\vec{AB}$, logo o produto escalar entre eles é nulo:

$\vec{AB}\cdot\vec{PM}=0$

$(x+\frac{1}{2})\cdot(-3)+(y-\frac{1}{2})\cdot3+(z+1)\cdot(-6)=0$

$-3x-\frac{3}{2}+3y-\frac{3}{2}+-6z-6=0$

$-3x+3y-6z-9=0$

Dividindo ambos os lados da igualdade por -3:

$x-y+2z+3=0$

26.2.

Pelo enunciado tiramos a seguinte relação:

$(k-1-1)^2+[2k-(-1)]^2+(k-2)^2=[k-1-(-2)]^2+(2k-2)^2+[k-(-4)]^2$

$(k-2)^2+(2k+1)^2+(k-2)^2=(k+1)^2+(2k-2)^2+(k+4)^2$

$k^2-4k+4+4k^2+4k+1+k^2-4k+4=k^2+2k+1+4k^2-8k+4+k^2+8k+16$

$6k^2-4k+9=6k^2+2k+21$

$-4k+9=2k+21$

$6k=9-21$

$6k=-12$

$k=-2$

26.3.

a)

Basta aplicar a equação do plano para $x=1$ e $z=0$ :

$1-y+2\cdot0+3=0$

$1-y+3=0$

$y=4$

b)

Basta aplicar a equação do plano para $y=z=0$ :

$x-0+2\cdot0+3=0$

$x-3$