Question

Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a2^–bt onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a
população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?

Answer 1

a) Para determinar os valores dos coeficientes a e b, devemos substituir os dois pares de valores que foram fornecidos no enunciado, sendo eles: (0,1024) e (10,512). Substituindo o primeiro par, podemos determinar o valor de a:

$1024=a*2^{-b*0}\\ \\ 1024=a*2^{0}\\ \\ a=1024$

Agora, vamos substituir o segundo par ordenado, além do valor do coeficiente a, de modo a determinar o coeficiente b:

$512=1024*2^{-b*10}\\ \\ \frac{1}{2} =2^{-10b}\\ \\ 2^{-1}=2^{-10b}\\ \\ -1=-10b\\ \\ b=0,1$

Portanto, as constantes dessa função são:

$\left \{ {{a=1024} \atop {b=0,1}} \right.$

b) Um oitavo da população será igual a 128 habitantes. Substituindo esse valor na equação, podemos determinar o tempo:

$128=1024*2^{-0,1t}\\ \\ \frac{1}{8} =2^{-0,1t}\\\\2^{-3}=2^{-0,1t} \\ \\ -3=-0,1t\\ \\ t=30$

Portanto, o tempo mínimo para que a população diminua oito vezes será 30 anos.

Answer 2

a) As constantes a e b são 1024 e 1/10.

b) A população será 1/8 da inicial após 30 anos.

Funções exponenciais

Uma função exponencial é aquela em que a variável está no expoente de uma base maior que zero e diferente de 1. Funções exponenciais são escritas na forma y = a·b^x.

A função que determina a população é dada por:

F(t) = a·2^(-bt)

a) Temos que a população inicial é de 1024 indivíduos, ou seja, para t = 0:

1024 = a·2^(-b·0)

1024 = a·2^0

a = 1024

Após 10 anos, a população tem metade da população inicial, então, para t = 10:

1024/2 = 1024·2^(-10b)

1/2 = 2^(-10b)

2^(-1) = 2^(-10b)

-1 = -10b

b = 1/10

b) A população irá reduzir para 1/8 após t anos, logo:

1024/8 = 1024·2^(-t/10)

1/8 = 2^(-t/10)

2^(-3) = 2^(-t/10)

-3 = -t/10

t = 30 anos

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