Question

1. Dados os vetores u = (3, -2, 1) e v = (1, 2, -3), calcular λ pertencente ao conjunto
dos números R, de modo que o vetor u + λ v seja paralelo ao vetor w = (3, 2, -4).

Answer 1

Resposta:

$\lambda=3$

Explicação passo-a-passo:

Vamos calcular o vetor $\vec{u}+\lambda\vec{v}$:

$\vec{u}+\lambda\vec{v}=(3,-2,1)+\lambda(1,2,-3)$

$\vec{u}+\lambda\vec{v}=(3,-2,1)+(\lambda,2\lambda,-3\lambda)$

$\vec{u}+\lambda\vec{v}=(3+\lambda,-2+2\lambda,1-3\lambda)$

Dois vetores são paralelos se um deles puder ser escrito como a versão escalar do outro. Em outras palavras, deve existir um número real $k$ tal que:

$\vec{u}+\lambda\vec{v}=k\cdot\vec{w}$

$(3+\lambda,-2+2\lambda,1-3\lambda)=k(3,2,-4)$

$(3+\lambda,-2+2\lambda,1-3\lambda)=(3k,2k,-4k)$

Daí tiramos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}3+\lambda=3k\\-2+2\lambda=2k\\1-3\lambda=-4k\end{matrix}\right.$

Da 2º equação tiramos que $k=\lambda-1$. Substituindo $k$ na 1º equação:

$3+\lambda=3(\lambda-1)$

$3+\lambda=3\lambda-3$

$\lambda=3$

Da mesma forma, se substituirmos $k$ na 3º equação, obteremos:

$1-3\lambda=-4(\lambda-1)$

$1-3\lambda=-4\lambda+4$

$\lambda=3$

Concluindo assim que o único valor real de $\lambda$ para satisfazer às condições é $\lambda=3$.