Question

em uma PG s soma dos dois primeiros termos e 1 e a do terceiro com o quarto e 9 . Determine a Pg ?

Answer 1

Antes vamos escrever todos os termos em função do $a_1 \mathrm{e \ de} \ q$, a razão (só usar a fórmula do termo geral pra isso):

$a_2=a_1.q \hspace{1,3cm} a_3=a_1.q^2 \hspace{1,3cm} a_4=a_1.q^3$

Agora que temos os termos em função do que queremos podemos calcular as somas:

$a_1+a_2=1 \Rightarrow a_1+a_1.q=1 \Rightarrow a_1(1+q)=1$
(Coloquei em evidência o $a_1$, tu vai já já entender porque)

$a_3+a_4=9 \Rightarrow a_1.q^2+a_1.q^3=9 \Rightarrow q^2.a_1(1+q)=9$
(Coloquei $a_1.q^2$ em evidência e reescrevi daquela forma, já que é uma multiplicação e tu pode fazer isso)

Por causa da primeira soma a gente sabe o valor de $a_1(1+q)$. Substituindo esse valor na segunda soma temos:

$q^2.a_1(1+q)=9 \hspace{0,2cm} {a_1(1+q)=1 \atop \Rightarrow} \hspace{0,2cm} q^2.1=9 \\ \\ \boxed{q=3 \ \mathrm{ou} \ q=-3}$

Temos dois possíveis valores pra razão da PG, então teremos dois possíveis valores pro primeiro termo e duas possíveis PGs. Vamos analisar os dois casos:

i) q=3
$a_1(1+q)=1 \Rightarrow a_1.4=1 \Rightarrow a_1=\frac{1}{4}$

Então a PG seria
$\boxed{\left( \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{9}{4}, \frac{27}{4}, \ldots \right) }$

ii) q=-3
$a_1(1+q)=1 \Rightarrow a_1(1+(-3))=1 \Rightarrow a_1.(-2)=1 \Rightarrow a_1=\frac{-1}{2}$

Então a PG seria
$\boxed{\left( \frac{-1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{-9}{2}, \frac{27}{2}, \ldots \right)}$