Question

Seja a cônica de equação :
a) Determine as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos;
b) Encontre a equação das retas assíntotas.
c) Faça o esboço do gráfico (use escala de 1uc = 1cm);

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\frac{(x - 2) {}^{2} }{16} - \frac{(y + 1) {}^{2} }{4} = 1$

A questão quer saber o seguintes dados:

• a) Determine as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos:

Observe que essa hipérbole é do tipo que tem o centro deslocado da origem e também com o eixo real sobre o eixo "x", já que a medida de maior valor está abaixo de x². A equação padrão dessa hipérbole é dada por:

$\boxed{ \frac{(x - x_{o}) {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{(y - y_{o}) {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}$

Comparando essa equação com a nossa, é possível ver que o centro é dado por:

$\boxed{C( x _{o} , \: y _{o}) \to C(2, \: - 1)}$

Vamos encontrar agora as medidas de "a" e "b":

$a {}^{2} = 16 \to a = \sqrt{16} \to a = 8 \\ b {}^{2} = 4 \to b = \sqrt{4} \to b = 2 \: \: \: \: \: \:$

Para encontrar a medida "c", basta usar o teorema de pitágoras, mas de uma forma diferente do usual:

$c {}^{2} = a {}^{2} + b {}^{2} \to c {}^{2} = 16 + 4 \\ c {}^{2} = 20 \to \boxed{c = 2 \sqrt{5} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Como a hipérbole não é centrada na origem, os vértices e os focos serão dados por:

$A( x _{o} + a, \: y _{o}) \: \: e \: A (x _{o} - a, \:y _{o}) \\ B( x _{o}, \:y _{o} + b) \: \: e \: \: B( x _{o} , \: y _{o} - b) \\ F(x _{o} + c, \:y _{o}) \: \: e \: \: F(x _{o} - c, \: y _{o})$

Substituindo os dados nesses pontos acima:

$A( 2 + 4, \: - 1) \: \: e \: \: A (2 - 4, \: - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ A( 6, \: - 1) \: \: e \: \: A ( - 2, \: - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ B( 2, \: - 1 + 2) \: \: e \: \:B( 2, \: - 1 - 2 )\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ B( 2, \: - 1) \: \: e \: \: B( 2, \: - 3) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ F(2 + 2 \sqrt{5} , \: - 1) \: \: e \: \: F(2 - 2 \sqrt{5} , \: - 1)$

• b) Encontre a equação das retas assíntotas.

$\frac{(x - 2) {}^{2} }{16} - \frac{(y - 1) {}^{2} }{4} = 1 \\ \\ \left( \frac{x - 2}{4} + \frac{y - 1}{2} \right).\left( \frac{x - 2}{4} - \frac{y - 1}{2} \right) = 1$

Tendo feito essa fatoração, devemos pegar cada fator desses e igualar a "0", isso gerará duas retas assíntotas:

$\frac{x - 2}{4} + \frac{y - 1}{2} = 0 \longrightarrow \boxed{ y = \frac{x}{2} - 2} \\ \\ \frac{x -2 }{4} - \frac{y - 1}{2} = 0 \longrightarrow \boxed{y = - \frac{x}{2} }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Essas são as retas assíntotas.

• c) Faça o esboço do gráfico (use escala de 1uc = 1cm);

O gráfico será feito com a ajuda de algum software.