• Matéria: Matemática
  • Autor: joaosrs10
  • Perguntado 5 anos atrás

Sejam as equações das retas:
a) Calcule o ângulo entre as retas.
b) Encontre a equação cartesiana do plano π que contém as retas r e s e passa pelo ponto A(1, –1, 2).

Anexos:

Respostas

respondido por: Nefertitii
2

Temos as seguintes retas:

r :   \left\{  \frac{x + 2}{2}  =   \frac{y - 1}{ - 2}; \: z = 0 \right\} \:  \: e \:  \: s :  \begin{cases}x = y - 2 \\ z =  - 2y + 5 \end{cases} \\

A partir dessas retas, a questão faz as seguintes perguntas relacionadas as mesmas:

  • a) Calcule o ângulo entre as retas.

Para calcular o ângulo entre as retas, basta pegarmos o vetor diretor dessas retas e calcular o ângulo entre eles. Notavelmente vemos que o vetor diretor da reta "r" é dado por:

r  : \vec{V(D)} = (2,-2,0)

Agora para encontrar o vetor diretor da reta "s", devemos observar que o "y" é como se fosse o parâmetro dessa reta, ou seja, podemos dizer que y = t, sendo "t" o parâmetro, então:

   \:  \:  \:  \:  \:  \boxed{ y = t} \\ s :  \begin{cases}x =t - 2  \\ y = t \\ z =  - 2t + 5 \end{cases}

Já que o vetor diretor é representado pelo coeficiente dos termos "t" de cada variável, temos então que s: V(D) é dado por:

s: \vec{ V(D)} = (1,1,-2)

Vamos então agora calcular o ângulo entre esses dois vetores, para isso usaremos a fórmula:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \boxed{ \cos(  \alpha  ) =  \frac{ \vec{v}. \vec{u}}{ | |v| | . | |u| | } }

Substituindo os dados na fórmula:

\cos( \alpha ) = \frac{(2,-2,0)   \: \cdot \:  (1,1,-2)}{ | |(2,-2,0) | | . | |(1,1,-2)| | } \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \\  \\  \cos( \alpha ) =  \frac{2 - 2 + 0}{ \sqrt{2 {}^{2}   + ( - 2) {}^{2}   + 0 {}^{2}} . \sqrt{1 {}^{2} + 1 {}^{2}   + ( - 2) {}^{2} } }  \\  \\  \cos( \alpha ) =  \frac{0}{ \sqrt{8} . \sqrt{5} }  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\   \boxed{\cos( \alpha ) = 0 \:  \: ou \:  \: 90 {}^{ \circ}}  \:  \:  \:  \: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \:

  • b) Encontre a equação cartesiana do plano π que contém as retas r e s e passa pelo ponto A(1, –1, 2).

Para encontrar a equação do plano que contenha as retas "r" e "s", basta encontrar um vetor seja perpendicular aos vetores diretores das retas, tal vetor perpendicular será o vetor normal do plano. Calculando o produto vetorial:

\begin{bmatrix}i&j&k \\ 2& - 2&0 \\ 1&1& - 2\end{bmatrix} = 4i + 4j + 4k

Ou seja, esse é vetor normal do plano. Utilizando esse vetor e o ponto informado pela questão, temos que a equação do plano é:

a{x} +b{y} + c{z} + d = 0 \\ 4x + 4y + 4z + 4.(1) + 4.( - 1) + 4.(2) = 0 \\  \boxed{4x + 4y + 4z  + 8 = 0}

Espero ter ajudado

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