Question

Como calculo a derivada de: d/dx [ cos(x)] = -sen(x)?

Answer 1

Utilicemos la definición de la derivada de una función $f$ en cierto punto $a$ de su dominio

              $\dfrac{df(a)}{dx}=\lim\limits_{x\to a}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Entonces

$\dfrac{d\cos a}{dx}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\cos x-\cos a}{x-a}\\ \\ \dfrac{d\cos a}{dx}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{-2\sin\left(\dfrac{x+a}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x-a}{2}\right)}{x-a}\\ \\ \dfrac{d\cos a}{dx}=-\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin\left(\dfrac{x+a}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x-a}{2}\right)}{\dfrac{x-a}{2}}$

$\dfrac{d\cos a}{dx}=-\lim\limits_{x\to a}\sin\left(\dfrac{x+a}{2}\right)\cdot\dfrac{\sin\left(\dfrac{x-a}{2}\right)}{\dfrac{x-a}{2}}\\ \\ \dfrac{d\cos a}{dx}=-\sin\left(\dfrac{a+a}{2}\right)\cdot 1\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{d\cos a}{dx}=-\sin a}$